jueves, 20 de agosto de 2015

Reseña modular breve sobre la ecuación diofántica : a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4

 
    Mi intención no es dirigirme a expertos sino a aficionados como yo mismo. Los números en sí no significan nada, pero es a veces difícil ver las relaciones matemáticas que rigen entre ellos y esto es lo atractivo de la teoría de los números, y  por ello escribo esto, para divulgar a un nivel de mera afición, para aficionados; muy lejos de la especialidad y de los especialistas.

 Utilizaré la notación siguiente :  r = s mod t para expresar que s es el resto de la división entera de r entre t. Por ejemplo  17 = 2 mod 5 significa que el resto de la división entera de 17 entre 5 es 2; puesto que 17 = 3*5 + 2.

Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 5 o 1 mod 5 o 4 mod 5 porque 3^2 mod 5 = 9 mod 5 = 4 mod 5 y 4^2 mod 5 = 16 mod 5 = 1 mod 5.  Y las potencias cuartas sólo pueden ser 0 mod 5 o 1 mod 5 por lo anterior. (En efecto, y como ejemplo, (5*k + 4)^2 = 25*k^2 + 40*k + 16 = 5*k1 + 16 = 5*k2 + 1; tomando en este caso preciso k1 = 5*k^2 + 8*k y k2 = k1 + 3).


Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 8 o 1 mod 8 o 4 mod 8 porque 3^2 mod 8  = 9 mod 8 = 1 mod 8 ; 4^2 mod 8 = 0 mod 8, 5^2 mod 8 = 1 mod 8, 6^2 mod 8 = 4 mod 8, 7^2 mod 8 = 1 mod 8, 8^2 mod 8 = 0 mod 8. Y las potencias cuartas son siempre 0 mod 8 o 1 mod 8  

Así que en la ecuación    a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 
sólo podemos tener en módulo 5 estas dos formas:

 0 + 0 + 0 + 0 = 0    o bien     0 + 0 + 0 + 1 = 1

puesto que 0 + 0 + 1 + 1 = 2    y  2 mod 5 no puede ser una potencia cuarta o bien 1 + 1 + 1 + 1 = 4
y 4 mod 5 no es nunca una potencia cuarta, como tampoco lo puede ser 3 mod 5.

Y exactamente lo mismo ocurre en módulo 8.

La opción   0 + 0 + 0 + 0 = 0 queda descartada en ambos módulos 5 y 8 porque sólo obtendríamos soluciones (a, b, c, d) = e obvias con a, b, c, d, e todos ellos múltiplos de 5 o bien de 8, a partir de soluciones primitivas obtenidas con  la condición obligatoria  0 + 0 + 0 + 1 = 1 en ambos módulos.

Un número que es 1 mod 8 es un número de la forma 8*k + 1 y es siempre impar, de la forma 2*k1 + 1 con k1 = 4*k. El hecho de que impar * impar = impar nos garantiza que si x^4 es impar también lo son x^2 y x. Luego uno de los 4 números, a, b, c, d ha de ser impar y los  otros tres han de ser pares.También el número e es  siempre impar.
Tres de los números a^4 , b^4 , c^4 o d^4 han de ser 0 mod 5 es decir múltiplos de 5 y como son potencias cuartas son múltiplos de 5^4 = 625.
A diferencia de lo que ocurre en mod 8 en que si un apotencia cuarta  x^4 es 0 mod 8, x^2 puede ser
0 mod 8 o bien 4 mod 8 y x puede ser 0 mod 8 o bien  2 mod 8 o  bien 4 mod 8 o bien 6 mod 8; en mod 5 si x^4 es 0 mod 5, entonces x^2 es 0 mod 5 y x es 0 mod 5. Queda mostrado que tres de los números a, b, c, d son múltiplos de 5.


Estas conclusiones modulares permiten ahorrar mucho triempo, cuando se implementan en el algoritmo que se programará en el ordenador que calculará las soluciones (a, b, c, d) = e, dentro de un rango determinado. No parece que exista ninguna identidad matemática que produzca un número infinito de soluciones; aunque quizás no todas las soluciones de esta ecuación. (Frecuentemente ocurre que aunque se produzcan un número infinito de soluciones, por medio de alguna identidad, en una ecuación Diofántica, estas no son todas las soluciones de la ecuación). No sé tampoco si la ecuación ha sido resuelta completamente o no. Creo que no.


Estas son las 3 primeras soluciones, tomadas de la excelente página web de Eric Weisstein :



(30, 120, 272, 315) = 353
(240, 340, 430, 599) = 651
(435, 710, 1384, 2420) = 2487

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html







sábado, 6 de junio de 2015

¿ Cuantos son los números enteros consecutivos que multiplicados entre sí, más otro número entero cuadrado, darán un cuadrado ?

 

   Es relativamente sencillo de comprobar que el producto de cuatro números enteros consecutivos

más otro número entero t^2 es un cuadrado si t = 1 porque

 n*(n+1)*(n+2)*(n+3) + t^2 = n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n * t^2    

 y            (n^2+b*n+t)^2 =  n^4 + 2*b*n^3 + (b^2 + 2*t)*n^2 + 2*t*b*n + t^2

lo que nos da que b = 3 y t = 1.

   
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)  + 1 =     (n^2+3*n+1)^2 = (n + (n+1 )^2)^2


Esta identidad es cierta cualquiera que sea el número entero positivo por el que se empieza. :


n = 0 ---> 0*1*2*3 + 1 =   1   = (0+1^2)^2   =  1^2

n = 1 ---> 1*2*3*4 + 1 = 25   = (1+2^2)^2   =  5^2

n = 2 ---> 2*3*4*5 + 1 = 121 = (2 + 3^2)^2 = 11^2

n = 3 ---> 3*4*5*6 + 1 = 361 = (3 + 4^2)^2 = 19^2

n = 4 ---> 4*5*6*7 + 1 = 841 = (4 + 5^2)^2 = 29^2

.......

La sucesión de los términos está documentada en la excelente estadounidense On-line Encyclopedia 

of Integer Sequences : 

https://oeis.org/A028387


Al ser un polinomio cuadrado, su grado ha de ser par por lo que el número de números consecutivos 

multiplicados entre sí ha de ser también par.                                                                            (1)


Los coeficientes de los polinomios que son producto de m números consecutivos, fueron estudiados por el escocés Stirling, por lo que llevan el nombre de números de Stirling de primera especie que denotaremos aquí por (n, k), en negrita .

n*(n+1)...(n+m-1) = Suma(de k = 0 a k = m) (m, k)*n^k

Tienen las siguientes propiedades fácilmente comprobables :

(n, 1) = (n-1)*(n-2)*...*2*1
(n, n-1) = n*(n-1) / 2
(n, n-2) = n*(n-1)*(n-2)*(3*n-1) / 24
(n, n-3) = n^2*(n-1)^2*(n-2)*(n-3) / 48
(n, n) = (0, 0) = 1
(n, 0) = (0, n) = 0
(n+1, k) = n*(n, k) + (n, k-1)



http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind

No conocía yo tampoco estos números de Stirling, mi cultura matemática y general es limitada, pero se hace camino al andar. Al intentar resolver este problema, me he topado con ellos. Lamento que tanto la OEIS de Sloane como el *buen y *breve** artículo matemático de wikipedia, indispensable sobre estos números, sólo estén en inglés.




Cualquiera que sea el grado y por lo tanto la longitud del polinomio cuyo cuadrado quisiéramos igualar al producto de m números consecutivos enteros más un número entero t^2, denotaremos los  coeficientes de sus monomios de mayor a menor grado por sucesivamente : 1, b, c, d, e, f, ...

Por ejemplo : 

(n^6+b*n^5+c*n^4+d*n^3+e*n^2+f*n+t)^2 =

n^12 + 2*b*n^11 + (b^2 + 2*c)*n^10 + (2*c*b + 2*d)*n^9 + (2*d*b + (c^2 + 2*
e))*n^8 + (2*e*b + (2*d*c + 2*f))*n^7 + (2*f*b + (2*e*c + (d^2 + 2*t)))*n^6 + (2
*t*b + (2*f*c + 2*e*d))*n^5 + (2*t*c + (2*f*d + e^2))*n^4 + (2*t*d + 2*f*e)*n^3
+ (2*t*e + f^2)*n^2 + 2*t*f*n + t^2


Los coeficientes de los cinco monomios de mayor grado, de mayor a menor, de cualquier polinomio 

cuadrado de grado superior a 6 son: 

1,  2*b,   b^2 + 2*c,   2*(b*c + d),  2*(b*d+e) + c^2                                         (2)



  Consideremos los productos de m = 4*k + 2 números consecutivos (k =1,2,3,..). Por las propiedades de los números de Stirling anotadas previamente, el coeficiente del monomio de grado m - 1 del polinomio, es       (m, m-1) =  m*(m-1) / 2 = (4*k + 2) * (4*k + 1)  / 2 =  (2*k  + 1) * (4*k  + 1 ). El producto de dos impares es un impar y debe ser igual a 2*b, un número par, por (2) .




 Contradicción por lo que no puede ser que  la suma de un producto de 4*k +2 números enteros consecutivos más un cuadrado entero  sea un  cuadrado. Un mínimo de reflexión llevará al amable y más que paciente lector a deducir de ello, que para poder ser cuadrado ese producto  debe de ser el de 8*k  o 8*k + 4 números consecutivos (k = 1, 2, 3, ...).     (7)   





Los coeficientes del monomio  n^(m-2) del polinomio de grado m cuando m = 8*k + 4

son (8*k + 4, 8*k + 2) = (8*k + 4)*(8*k + 3)*(8k + 2)*(24*k +11) / 24 = (2*k + 1)*(8*k + 3)*(4*k

+1) *(24*k + 11) / 3 = (2*k + 1)*(4*k´ + 3)*(4*k + 1) *(4*k" + 3) / 3  tomando k´ = 2*k                            
y  k´´ =  6*k +2.

Un número entero r es de la forma r = u*l + v si cuando se divide al número r por u, con cociente entero, su resto es v.  En cada grupo de tres números consecutivos,  uno es divisible por 3, por lo que el resultado de la división del producto de tres o más números consecutivos, por 3, es un número entero . Lo importante cuando se habla de que un número r es de la forma u*l + v no es el valor de l, que no importa, sino el valor de u y el valor de v. Quien sepa utilizar los módulos, puede utilizarlos.

El producto de dos números de la forma 4*l + 3 es de la forma 4*l + 1, al igual que el producto de

dos números de la forma 4*l  + 1 por lo que (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma (2*k +1) * (4*l +3)

 Si k es par, k = 2*l´ ;  2*k +1 = 4*l´ + 1.  Si k es impar k = 2*l´ + 1;  2*k +1 =  4*l´ + 3.




Si k es par (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma 4*l +3 y de la forma 4*l +1 si k es impar                (3)




Un análisis similar al precedente nos desvela que los coeficientes (m, m-3) son impares si m tiene


resto 6 o 7, al dividirlo por 8 (formas 8*l + 6 u 8*l + 7 o bien 8*l´- 2 y 8*l´- 1; (tomando l´= l - 1)) y

pares en los demás seis casos de los  restos 0, 1, 2, 3, 4, 5.                                                          (8)



Por la regla general de recurrencia de los números de Stirling de primera especie

(8*k + 4, 8*k) = (8*k + 3)*(8*k + 3, 8*k) + (8*k + 3, 8*k - 1)


(8*k + 3, 8*k) es par por (8); el producto de cualquier número por un número par es par y la

suma de cualquier número con un número par lleva la paridad del primer número. Por lo que

(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de (8*k + 3, 8*k - 1). 


Esta transferencia de paridad en descenso contínua, sólo rota en el caso de (8*k, 8*k - 4) que lleva la

paridad inversa de (8*k -1 , 8*k - 5) por lo que (8*k + 4, 8*k) lleva la paridad inversa de (8*k - 4, 

8*k - 8) que es el caso cuando k es sustituido por k -1 y la paridad de k cambia.

En concreto, para k = 1, impar; (12, 8) = 357423 es impar. Concluimos que :



(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de k                                                                                       (4)   



 Por  (2) y (4) sabemos que  2*(b*d+e) + c^2  =  (8*k + 4, 8*k) tiene la paridad de k. Deducimos 

correctamente  de ello que c tiene la paridad de k.                                                                            (5)



Por (2), (8*k + 4, 8*k + 3) = 2*b = (8*k +4)*(8*k +3) / 2  ---> b = (2*k +1)*(8*k +3) es impar --->

b^2 tiene resto 1 al dividirlo por 4, como  todos los cuadrados de números impares.


 Por (2) y (3) tenemos que (8*k + 4, 8*k + 2) b^2 + 2*c  es de la forma 4*l +3 si k es par y de la

forma 4*l +1 si k es impar. Luego c es impar si k es par y par si k es impar, contradiciendo a (5).


 No existen productos de m números consecutivos enteros más  otro número entero cuadrado, que 

sean cudrados  si m es de la forma 8*k + 4                                                                               (6)




(1), (7) y (6) concluyen que para que la suma de un  producto de m números enteros consecutivos más  otro número entero cuadrado sea un cuadrado, cualquiera que sea el número de inicio, m debe de ser de la forma m = 8*k (k=1,2,3,4....) siendo el producto de 4 números consecutivos  más el número uno la única excepción a la norma y probablemente el único caso que exista, mis reducidos conocimientos matemáticos no me permiten demostrarlo.







domingo, 3 de mayo de 2015

El Camino Lebaniego



 En el  oeste de Cantabria de norte a sur, desde San Vicente de la Barquera, en la costa, hasta Potes en el magnífico macizo de los Picos de Europa y el monasterio de Santo Toribio, existe el camino lebaniego -no sé aún porqué no se dice liebanés-, que desemboca en la comarca de Liébana. Es perpendicular al camino de Santiago y relativamente exigente en cuanto al esfuerzo físico requerido, pero realizable  en solo dos etapas aunque se tenga una edad, como la mía, de algo más de tres veces veinte años. Y de una gran belleza para quien ame a la montaña, a la majestuosa naturaleza.






                                              Dejando atrás a San Vicente de la Barquera



No estoy muy acostumbardo a seguir flechas -rojas en este caso- o amarillas en el camino de Santiago, por carreteras amplias y asfaltadas, más bien por estrechos senderos de montaña o por pistas pedregosas, en mal estado, sin asfalto, de manera que en el pueblo de La Acebosa me equivoco sin llegar a ver la señalización de desvío por una carretera poco visible y estrecha a la derecha y sigo recto hasta llegar de nuevo a las proximidades de la autovía. No llevo ni mapa ni artilugio de seguimiento satelital (GPS). Tampoco he preparado la ruta en casa, con ayuda del ordenador, de los documentos sobre el camino lebaniego existentes en Internet, y de los mapas de Google. No me ha dado tiempo; y me gusta improvisar. No conozco los nombres de los pueblos por los que hay que pasar, ni el nombre, ni la situación ni la altura de los montes, algunos majestuosos, que se verán en esta ruta. Un panel de información turística, con un croquis de los pueblos y carreteras de la zona y el nombre del burgo siguiente con la descripción de su arquitectura más notable, me confirma de que voy por dirección equivocada. Retorno hasta encontrarme con las señas de la bifurcación que no vi; estoy enfadado, he recorrido unos 2 km de más para nada, nada más empezar el camino. Estoy pensando en que no debo despistarme -literalmente o no- tanto; que qué falta de concentración mental atesoro yo involuntariamente.

Me vuelvo a equivocar en Gandarilla por no ver la flecha roja, algo alejada, en un desvío. Unas mujeres mayores, buenas andarinas, muy amables, me orientan adecuadamente. Me anuncian que no llegaré a Lafuente hasta la noche si mis piernas son buenas. Otos 2 km perdidos. He salido hacia las 13 h 30  de San Vicente y llegaré más allá, hasta Cicera, sin yo planificarlo, a las 21 h 15, a punto de noche negra de este miércoles 29 de abril del 2015. Me dicen que hay que probar el queso picón en el bar de Cades. Han sido, según lo publicitado en los folletos turísticos 36 km, contando los 4 km andados de más, recorridos en 7,75 horas, kilómetros relativamente arduos pero preciosos, de subidas, de bajadas y de más subidas y bajadas, recorridos a una buena velocidad media de algo más de  4,5 km por hora; y disfrutando de lo visto y lo vivido.







     Primer obstáculo montañoso, que hay que pasar, subiendo, en el camino. Hay otra ruta más plana  pero más larga por los bordes del río Nansa.




                                           

  Un ejemplo de la arquitectura Cántabra. El hotel y el bar estaban cerrados.Quizás hay que llamar por teléfono para que vengan a abrir al visitante.



 

  El Nansa, en el que nadie se baña dos veces, porque ambos, bañante y río ya no serán los mismos; y su sosiego.





                                                Nunca sobra la información, para el viajero. 





                                                       
                                                         Notabilidad de los árboles.






Agua y monte.






   El caprichoso trazado -parece casi aleatorio- de los murillos de separación de las propiedades            rústicas privadas. Alguna de estas vacas mugía insistentemente por alguna razón que yo no sé ni entiendo.






                    La montaña empieza a enseñarnos sus dientes que hay que saber volver amables.






                           El verde y las redondeces que envuelven siempre y enredan a los ríos.



 

                           
                           Las casas imperecederas, casi inmutables. El pueblo de Sobrelapeña.





   Los nombres de las localidades suelen ser "políticamente correctos" pero Bajolapeña hubiera sido un topónimo descriptivo  más exacto.









 Iglesia muy antigua de Lafuente - Lamasón





Una imagen habitual de las zonas de montaña; los tejados de los pueblos. Aquí los de Lafuente.




Al llegar a Cades, me desvío a la derecha hacia el bar, publicitado en un panel.Un andarín autóctono, que andaba detrás de mí, me dice que está cerrado. Retorno al camino. No encontraré ningún bar ni  tienda abierta en estas dos etapas, en estos dos días hasta Potes. En el albergue privado de Cabañes, que está a la vera misma del camino, el segundo día, no quisieron darme de desayunar excusándose en unos niños allí presentes. Sospecho, no obstante,  que se trata de una maniobra de mi ex compañera Verónica, que ufana me apostó, en el pasado semi olvidado, hace ya años, que puedo recordar ahora, que un día yo desayunaría en Tama, al lado ya de Potes, hacia  las doce del mediodía, después de 6,5 horas de marcha y recorrido. Hay gente que conoce el futuro; y yo no lo sabía. Y  configuran ese futuro, obligando a que, en parte, sea como termina siendo.  No pensaba entonces que ese conocimiento  fuera posible; pero lo he comprobado en este viaje -y en otros viajes- por este camino impávido y lebaniego.

Cuando por fin llego a Lafuente, el pastor cuya vaca se había adelantado en la carretera y en la foto me dice que hostia, que el albergue está cerrado. Veinte y siete kilómetros largos de media montaña para nada. Pienso que las cosas no son nada serias, que no se debe de anunciar la existencia de un albergue, existencia sin restricciones confirmada esta misma mañana en la oficina de turismo del Paseo de Pererda, en la bella Santander. Intento comprobarlo por mí mismo, pero dos mujeres apostadas en mitad de la carretera desierta confirman la palabra del pastor de vacas. Pero que el albergue de Cicera, que me dicen que está abajo, en un valle, si debe de estar operativo.

Con desaliento me doy cuenta que se me ha acabado el agua, que la pendiente es hacia arriba y fuerte. La siguiente localidad es Bustio, otro barrio de Lamasón. Un hombre con un mono azul aprece de repente; me dice que el agua del abevadero que está al lado, que está corriendo, es buena, que es de arriba del monte. Le digo que, aún de arriba, puede haber pasado por las moñigas de las vacas y él que no, que viene por tubería. Meto la botella en el abrevadero, donde las vacas y los caballos beben y  lleno hasta la cuarta parte; el agua es fresca y sabe bien. El del mono azul, que dice que es pastor de vacas y es bastante majo, exclama que llene la botella más y yo me niego, que llame al albergue de Cicera para avisar que llego. Me acompaña un rato, me cuenta que en la mili tenía un compañero de Baracaldo, de La Reineta donde se llega  en funicular y me dice su nombre, que por la ladera escarpada de ese monte de al lado bajaron unos, de noche y en carrera, hace poco, dotados de cascos con linterna, que había  incluso extranjeros, que para haberse matado unos cuantos.  Y yo le contesto que no, que la noche es un tigre de papel si se tiene la experiencia y si se adquiere el aguante en los montes. Le doy las gracias, al separarnos, por su amabilidad y compañía.

No veo el desvío hacia la izquierda, directo  hacia Cicera, que el de mono azul me había anunciado. Cuando diviso desde la altura de la carretera, que ha sustituido a los caminos de tierra, los tejados de un pueblito, ya anocheciendo, emprendo un campo a través directo, arriesgándome a que no fuera Cicera, sino otro burgo y en cinco minutos de descenso por praderío natural algo embarrado, llego al bar que está, por buena suerte abierto aunque no hay nadie. Me gusta lo que me dice el barman que dice ser a la vez el propietario, que el alcalde es del psoe, pero que por esta zona votan más bien a la eficacia. Si alguien no lo hace bien, votan a la siguiente a otro. El albergue es solo para mi persona. Estoy en una sala con 8 literas, pero hay más salas, servico y dos duchas con agua caliente, que acaban de encender la caldera. El albergue es municipal y el empleado del ayuntamiento dice que ha venido desde Santander, aunque vive a  solo 3 km.  Hay frigoríco, vasos, platos, cubiertos, vitrocerámica y microondas para calentar, todo en buen estado en una casona que fue antigua escuela. Ceno, ya casi a las once de la noche, el pan con embutidos, la crema de garbanzos -hummus- también fría y el chocolate con cacahuetes Conguitos que compré en Santander, regado todo ello con el agua clara y sabrosa de la zona. Lo como todo. Me arrepiento de no haber traído algún sobrecito de té y/o de café y algún tubito de leche condensada para la mañana; falta también, en mi parecer subjetivo y de manera diáfana, una mujer; algún amor concreto.


  No sé si será la  edad, pero a las 4 h 30 ya estoy despierto. Es inútil el intento de alargar el sueño y a a las 5 h  emprendo el proceso de partir de nuevo; la noche es aún cerrada y no conozco el camino. Pero sé que llegaré o como mucho habré de esperar hora y media a la luz del sol. Un caballo me pega un susto, en el oscuro monte, al emprender ruidosa y repentina huída de mi pobre y casi ciego paso; seguro que él algo de mí sí vio. Un ruido extraño de agua callendo, casi chillando, que no identifico en prima instancia me detiene un rato. ¿ Qué será... ? Robín, me digo, no eres ya un niño. Y continúo.
 La pista es de tierra con piedras  y a veces de cemento. Llego a una bifurcación, pero consigo encontrar la flecha, apenas verla, de pintura roja orientadora. A la hora prevista, las 6 h 30, porque sé que los días duran en esta época del año, 14 horas, se empieza a ver bien.


 He llegado a lo más alto del monte; una semi planicie; preveo  que la dirección de la ruta cambiará bruscamente en algún punto poco evidente, que debo de estar atento, que  mi falta de concentración por momentos no controlables por mí mismo, me puede impedir ver ese cambio. Se me ha olvidado de qué manera se podía encontrar a la estrella del Norte, a partir del carro tan visible hasta hace unos minutos, ahora tapado por algunas nubes y la claridad naciente. Solo recuerdo que su altura sobre el horizonte ha de ser igual a la latitud del lugar, unos 43 grados; pero no puedo recordar ni hallar, ahora, ningún método para demostrarlo  geométricamente. Y la estrella que pensé ser del Norte parecía tener esa altura angular; pero de luminosidad algo débil para un cielo tan poco contaminado. Tomo el punto medio de la franja de la claridad debida al sol naciente, como el probable punto del Este.

  En un momento me parece evidente que no voy bien. Llevo varios minutos por una pista, en llano inútil en montaña, en dirección casi este, cuando la dirección media hacia Potes es suroeste. No tengo mapa, ni GPS, ni quiero mirar en Google con el móvil, que me cuesta manejar su pequeña pantalla táctil y más aún ver bien su letra pequeña. Llego a un punto publicitado por un panel informativo como "La Braña de los Tejos" y a un pequeño refugio construido de piedra, acogedor, con la puerta abierta. La pista que se torna ahora medio sendero, gira hacia el norte. Lo compruebo con un programilla brújula sencillo, en el teléfono móvil. Regreso y encuentro el panel indicativo que no vi marcando un giro de 90 grados hacia el sur y hacia una gran bajada con vistas fabulosas.





                                                       Punto de incio de la bajada.





                                          No sé aún ni el nombre ni la altura de estas cimas









                                    Esto debe de ser, según la web de Mendikat, mirado a posteriori, 
                                   el bloque rocoso del Parijorcau; Jontaniella; Cuetu Agero; pero me puedo                                        equivocar. Un solo nombre, en todo caso, el Parijorcau, el más alto, de 1381                                      metros, para  todo el bloque.

   



Emprendo la bajada hasta Lebeña, un desnivel de 800 metros, a veces corriendo, aunque nunca he pasado por allí, corriendo cuando estoy seguro de que voy por buen camino. El motivo de correr es el de aprovechar a mi favor la fuerza de la gravedad, de buscar además un equilibrio harmonioso de mi cuerpo en movimiento, no frente al monte, sino junto al monte, en amistad y unión con él. No me canso más que si bajo despacio y andando. Sólo se requiere la búsqueda del equilibrio en el esfuerzo.    Gano, corriendo en las bajadas bastante  tiempo, lo que me permitirá detenerme  más; con calma o con lo que yo quiera, en otros sitios. Los bastones, que tan de moda tonta están entre los senderistas; son en realidad innecesarios, bajando o subiendo.







                                                                       Lebeña









                                                
                                                    La iglesia muy antigua de Lebeña.





                                                               
                                               El río Deva  a su paso tranquilo por Lebeña




Cuando paso por Lebeña veo a un señor que casualmente está subiendo en ese preciso momento a su coche. Le pregunto por algún bar donde desayunar y él me dice que hasta Tama nada. No sé ni donde queda Tama, pero no le pregunto nada más y contínuo no sin darle las gracias.

















































   


  Hay que saber mirar la belleza de las  flores y de las plantas naturalmente silvestres, que no solemos detenernos a contemplar. Y ello también es senderismo. 




Todas las fotografías  han sido relizadas con una sencilla y pequeña cámara compacta fotográfica  barata, la más barata que encontré en el mercado, de solo unos 75 €, con zoom suficiente de solo 6x, objetivo común, no de marca y eso sí, todas han sido editadas digitalmente, buscando una mejora, con el programa de edición sencillo gratuito que  el propio fabricante provee. Como en la fotografía antigua, química y anlógica; la parte del laboratorio, que es ahora  la edición digital por ordenador, es casi tan importante como la toma de la foto misma. Y requiere de algo menos de tiempo.






                     
                                                          La belleza natural del lugar





                                               
                                              Lebeña visto desde la subida hacia Cabañes



En Cabañes, a un pastor de ovejas, parece que se le escapa el rebaño justo por la carretera estrecha por donde yo tengo que ir. Me aparto rápidamente para no interferir, dejar que vayan a donde tienen que ir. Les hace cambiar de dirección con  un grito seco de su voz, desde unos buenos metros de distancia y después lanza su bastón al suelo y se detienen compactamente agrupadas y tranquilas.¡Qué obediencia! Me dice que querían ir donde ellas saben que hay mejores pastos.






                                                          Orientándose en Cabañes





Creo recordar que estas vacas estaban todas recostadas en la hierba cuando yo pasé. Quizás estas son otras distintas.


  

                                        Cabañes y sus montes desde las cercanías de Pendes.















Árboles milenarios en la zona. 




                                                              
                                                             Los tejados de Pendes.




                                                                               
                                                                                Color 



 Por fin me acerco a Potes por una carretera asfaltada, aunque sin tráfico, que me cansa psicológicamente más que físicamente, aunque me duelen algo la espalda y los gemelos. No hay bares antes, así que desayuno en Tama, en el primero que encuentro, hacia el mediodía, después de 7 horas de  haberme levantado de la litera del albergue de Cicera, como me lo anunció Verónica hace ya muchos años. Un desayuno bueno de café con leche, grande, y tres tostaditas bien sabrosas.

 Nada es peor que la burocracia contra los emprendedores; me acuerdo de que el día siguiente es la fiesta del primero de mayo; una fiesta inventada en Estados Unidos y al pasar por un supermercado Día, decido comprar para comer, cenar y también para mañana en  que todo estará cerrado. La compra pesa mucho para ir llevándola hasta el monasterio de Santo Toribio y el calor aprieta, así que decido parar en un banco y comer ya.  Fruta, zumo de fruta y algo de embutido con pan. Pienso en ir después al albergue de Potes y tumbarme un rato en una litera a descansar, dormir la siesta un poco. Por la tarde subiré al monasterio y después veré  lo que visito y hago. Volveré al día siguiente  en autobus hasta San Vicente y de allí seguiré a pie hasta  Unquera o más allá. Cuando llego al albergue son las dos de la tarde y leo en un papel que  cierran de dos a cuatro. La burocracia otra vez, qué mala suerte.

 Salgo con la mochila en la espalada y la bolsa pesada de comida y de bebidas en la otra, hacia Santo Toribio.En plena subida al monte veo una cruz grande blanca en la misma cima; muy muy arriba, casi más alto que todo lo que he subido hoy. El calor aprieta mucho, no hay nadie andando. Pienso que no voy yo a hacer el ganso ni matarme en el esfuerzo por un asunto de religión. En Potes, que es un pueblo bonito, me cansa a veces su aspecto turístico descarado, más que me gustan los montes que lo rodean. El último autobus para Santander es a las cuatro y cuarto. Decido regresar sin haber siquiera sellado mi credencial  de peregrino en Potes. De regreso en Bilbao veo en el ordenador, en Google, que el monasterio estaba a solo 1 km y unos metros de donde yo me volví. Y solo 200 metros más alto que Potes. Nada comparado con los 900 metros de desnivel hasta la cima del monte, que yo creí que había que alcanzar.

miércoles, 15 de abril de 2015

Andando por los senderos desde Suances hasta Comillas

 



   El senderismo es una práctica que he descubierto recientemente, hace apenas once meses. No pretendo emular con ello a nadie y menos aún deseo que nadie me emule. No autorizo a  nadie a nada. Lo que yo hago lo hago exclusivamente para mí y para nadie más. ¿Verdad; Teresina de Ávila  y de Cantabria?

   A lo sumo, uno tiene a veces la orgullosa sensación, que haciendo las cosas bien, llegando  a puerto bueno y a  meta deseada, en tiempo, en la forma y en la harmonía con el entorno, la inexorable entropía de este  mundo se estabilizaría un poco. 

   He recorrido todos los tramos senderiles entre la bella y más que  burguesa, bien aristocrática           -a pesar de lo muy ¿"revolucionario"? y  a la vez muy ¿"independentista"? que allí votan- Easo / San Sebastián; hasta Comillas en Cantabria  cerca de Asturias. He dejado sólo sin completar ni recorrer a pie, el tramo entre Plencia y Algorta en Vizcaya procurando ceñirme lo más posible al mar y a los acantilados; subiendo además hasta la cima de los montes más cercanos. De Este a Oeste el Monte Igueldo en San sebastián; no subí por falta de tiempo al Mendizorroz y al Kukuarri, siguiendo un sendero de gran recorrido (GR) difícil, semi-abandonado y cansino pero precioso; el Beastegui separando Orio de Zarauz; Tontorramendi -y valga la redundancia, todo monte tiene una "cima" = "tontorra"; "monte" = "mendi" en vasco- dominando Ondárroa; Otoio escoltando al bello Lequeitio; el impresionante, por su caída vertical hacia el mar, Ogoño sobre el  especialísimo pueblo acantilado de Elanchove; el Acharre sobre la magnífica ría de Mundaca; llegué demasiado tarde, anocheciendo y cansado, para subir al Ereñozar; el tan cónico y tan densamente vegetado Achapunta en Busturia; el Aznabarra en una zona preciosa  entre Bermeo y Baquio; el Jata; el Ermua y el Astondo ya en Górliz. El San Bernabé y el Elorriga/Banderas  en Bilbao sobre la ría del Nervión; Serantes y Lucero por Santurce; La Peña Santullán sobre Castro Urdiales (-urdiendo sin parar; el castro ese-); Cerredo; el magnífico y marino Candina; La Peña, un acantilado geométrico de impresión llegando a Laredo;   el Montehano  en Escalante; el muy marinero y muy verde Buciero en Santoña.

Huyendo del tedio de Vil Vaho, llego a Santander en autobus el viernes santo 3 de abril de este año de gracia del 2015, por la mañana y en autobus municipal de ceracanías hasta Liencres. No tengo coche. El chófer me hace gracia. Ha reñido a una mujer que le solicita fuera de la parada, en plena avenida y lo consigue. Y a un hombre mayor, que él conoce, que baja al hospital Santa Cruz sin dar al timbre de parada.Tomo mi primer café en el bar "Amarillolimón" en la plaza. Al volver del servicio, le pregunto a la encargada que cual era el de hombres, si "lima" o si "limón"; que yo entré en limón.Iniciamos una conversación sobre el sexo de los ángeles -y no tan ángeles- concluyendo  que una lima pero que  un limón; que en el caso de representación por símbolo de masculinidad, esta es sin duda la de la flecha para arriba.Y ella levanta su antebarazo; claro, vosotros, lo vuestro de los hombres; no debiera de haber posibilidad de confusión, aunque todos, todos preguntan; me cuenta amablemente. Espero que esa conversación  no fuera una trampa; ya no me fío de nada. Y antes me fiaba de todo. Pero sigo sin saber nada de nada.


 El mar, los acantilados, las rocas y la arena, las formas y colores por Liencres.




























  Tras recorrer los acantilados y las bellas dunas llego a la desembocadura del río Pas y es marea baja. La impresión que tengo es que no cubre más de un metro de media; pero habrá zonas de dos metros de profundidad. Mojaría la mochila y mi ropa si me pongo en traje de baño y cruzo el río entre andando y nadando. 

  Me resigno a dar una vuelta de bastantes kilómetros bordeando el río y sus meandros hasta el primer puente, que es el del ferrocarril de vía estrecha de la línea Oviedo-Santander. Cuando la marcha por la rivera se torna difícil por el fango en que te hundes, que ha sustituido a la arena, veo a una pareja de piragüistas en la orilla opuesta, cada uno en su montura. Le grito a la mujer, que está más cerca, si me puede hacer el favor de pasarme a la otra orilla. Cometí un error; debí de convencerle, con argumentos velados de masculinidad, a él. Ella se lo pregunta a su hombre, que naturalmente se niega. En Vasquia, donde las mujeres mandan más; casi seguro que una mujer me  hubiera pasado. La excusa que da el macho es que esas piraguas no están preparadas para dos personas. Ella se excusa , a su vez, de dejarme así  tirado; yo creo que sí hubiéramos pasado juntos. 

  Cambio mi dirección hacia el extenso pinar detrás del río y maldigo en voz alta la ruta por donde me he metido, con demasiada agua, que va inundando mis botas de senderismo. Hay muy poca gente por la zona; un hombre en la playuela de en frente, que me está viendo y me oye, me grita de que "¡pase usted, hombre!". Debe de pensar que yo le tengo miedo a regresar por ahí. Está un poco lejos, así que yo no le contesto nada. ¿ Cómo se puede equivocar un hombre, una mujer tanto; qué consecuencias pueden tener tales equivocaciones ?

  Por el pinar, casi de inmediato encuentro un sendero de pequeño recorrido (PR), bien marcado en blanco y amarillo.Va en la dirección y en el sentido que yo deseo; sé que me llevará a buen puerto. Ya me  he comido los dos sangüiches de pan de molde barato que traía de bilbao. Me paro a  dar buena cuenta, con rapidez pues no hay ruta corta, de mis dos frutas y beber la preciosa agua.                  ¡ Cuanta inmoderada sed suelo tener ! Es apenas la una de la mañana y me sorprende mi apetito. No sé si el apetito lo controlo yo o no; ayer subí a dos montes bien duros y exigentes, por Durango, sin comer casi nada hasta la noche. El PR desemboca en una carretera comarcal. 

  Un poco antes de llegar a  Boo de Piélagos, una chica con un mozo me pregunta que cómo ir a las dunas de Liencres. Le digo que por la carretera por donde  yo vengo y a la izquierda dos kilómetros después. Curiosamente, la vuelvo a ver esa misma tarde y a su hombre de pelo raro, a mi regereso por tren, en la estación de vía estrecha de Santander. Esas casualidades me matan; no creo yo que lo sean; pero no sé lo que son. 

  En un cruce, en Boo, en que ya sé, porque miré en casa el mapa satelital de Google; que debo de ir a la derecha hacia el puente del ferrocarril; un hombre está haciendo que hace algo; le pregunto, sin poder callarme; no decir nada, en ese instante; por el puente y me contesta correctamente lo que yo ya sabía. Debo de tener cuidado pues mi ex compañera Verónica, en el pasado, conociendo el futuro, mi futuro, que yo no conocía, se las ha arreglado para implicarme en algo que yo no he comido ni bebido, ni me enteré entonces de ello. Sí recuerdo los manejos furtivos que ella hacía y que yo no contestaba que sí o que no. Otros, los que pueden, cuando quieren, contralar mi cerebro, lo contestaban por mí. Y ella lo sabía todo prerfectamente. El que no se enteraba entonces, era yo.


El río Pas cuando es ría, en marea baja.




Pinar encima del Pas




Desembocadura del Pas desde la comarcal hacia Boo de Piélagos




Flora local silvestre violeta




Laberinto geométrico natural muy bien ordenado




Gato autóctono  





Casuca cualquiera en el camino





Blasón





Parte de la procesión del viernes santo del 2015 frente a la estacíon, en Santander, hacia las 20 h                                






Cruzo el puente del ferrocarril con rapidez. Hay sólo un metro y pico de espacio hasta el primer raíl del tren; salgo a un terreno pantanoso que cruzo, y subo por un muro de piedras hasta una  comarcal. Llego a un restaurante-bar que aficha, junto a la carretera, una pizarra enorme con lo que parece ser un buen menú del día por 15 Euros. Son las dos y media de la tarde, hora de comer y yo, ni muy corto, ni demasiado vago, aunque ya he comido, no lo puedo resistir y me voy a sentar a una de las mesas del comedor.


Ando con pesadez al salir, pero continúo estoicamente y me meto por berengenales de difícil paso  nuevos. En un lugar oigo los balidos de un bebé corderito dentro de una valla.Su mamá está fuera y él no puede mamar.Busco algún agujero en el alambardo para que la mamá vuelva al redil, pero no encuentro nada. Llego a un lugar en el que sólo hay zarzas muy densas imposibles de traspasar, una larga valla que cerca una propiedad privada o bien una ensenada de calma mar. Deshago mi camino y veo que el corderito que lloraba, está ahora con su madre fuera del recinto.  ¿ Magia o qué cosa es?


LLego a Cuchía y nadie sabe decirme bien si hay algún autobus o no para cualquier dirección -en lugares muy apartados, cualquier autobus te llevará a mejor sitio- ni a qué horas . Veo desde una altura un barquito que parece de transporte de pasajeros, para cruzar el Saja, pero que va en dirección contraria a la de Suances. En un chiringuito cerca de la playa me dan un folletito del barco, con un teléfono pero sin ningún horario. Como no me gusta nada llamar, y además no creo que me informen, decido regresar a pie hasta donde pueda. Me encuentro de nuevo con un hombre al que había  ya preguntado y este, muy amable,  me lleva en su coche hasta la estación de Mogro, para volver a Santander.

Pero la etapa más larga de todas las que yo he hecho ha sido la de Suances hasta Comillas, con once horas y media continuadas de marcha, a buena marcha, sin comer porque era el domingo 12 de abril del 2015, había dormido en una pensión en Suances, no había tiendas abiertas para comprar algo de comer y sólo tomé una madalena, dos cafés con leche y una tostadita con mermelada y mantequilla a las ocho de la mañana. Medio paquete de patatas fritas que me quedaba del día anterior, dos lonchas de salami del día antes, fundidas por el sol, y en la playa de Cóbreces a las cinco y media de la tarde una media caña de cerveza con una tapa de siete  aceitunas.

El sábado 11/04/2015 me voy a Santander en autobus y de allí a Barreda, al lado de Torrelavega en tren de vía estrecha. En Barreda está el puente sobre el Saja, de carretera, más cercano al mar. Y la fábrica química de Solvay. Han construico una pista ciclable -las pistas ciclables no son de mi gusto para nada, me parecen esas pistas más un apartheid antinatural para bicis, que otra cosa. Las bicicletas deben de ir por las carreteras normales **y no por las aceras** **ni por pistas exclusivas par ellos**, como lo están mal haciendo ahora por Bilbao y por tantos sitios más; por desgracia.


Flores silvestres en la zona




Fábrica "Asturiana de zinc", que no me dejaron, la seguridad, pasar por ella, alegando oscura privacidad. El único sitio, en todo el camino desde San Sebastián, a pie, que no me han dejado pasar, tomar atajo.




El río Saja




La flora silvestre, en su belleza, que no solemos pararnos a mirar.




El Saja se ensancha 




 Bandera de España, una alegría depués de ver tantas banderas vascas o catalanas clamando a romper España y después romper a Francia y luego a Alemania y después quebrar  Italia y también Gran Bretaña; sin poder detener  la destrucción gradual de Europa, si no los paramos ya en seco; desde ahora.







Burros en un prado.Un grupo de tres mujeres me pasa nada más sacar la foto. Al  centenar de metros se dan la vuelta en su camino. Detrás de mí no venía nadie desde kilómetros atrás.





Flores de las dunas





Una de las playas de Suances, consigo pegarme un baño rápido y secarme al sol




Información turístico - cultural - literaria en Suances. Me  parece una buena idea.










El verde y el azul




Las casas de Portus Blendium






  Como siempre  que he viajado, en esta triste vida mía actual, siempre, siempre sin un céntimo, encontrar alojamiento barato y a la vez decente es el mayor quebradero de cabeza. En los meses de verano es imposible encontrar algo, si improvisas, como yo suelo hacer. En la zona de abajo del pueblo los hoteles son de 40 y de 50 € por noche a pesar de ser temporada baja. Mi presupuesto es, excepcionalmente,  de 20 €. Debiera de ser posible poder dormir en albergues o pensiones limpios y acogedores con literas  y con camas por 10 € o menos. Al final y arriba del pueblo, según se viene del faro, encuentro una pensión/casa rural bonita, acogedora y limpia, *con todo funcionando y nuevo*, bañera, servicio y ducha por 22 € incluido el desayuno. La cena es, en cambio, un pequeño fracaso. Casi nunca he conseguido comer bien -que no esté el pedazo de pollo con sabor de recalentado y grasiento -o lo que sea, pero que esté bien; la hostelería no está al nivel del turismo culto que tiene la bella Cantabria- que no sean las patatas fritas endebles y congeladas, por 10 € o menos.Y eso que era en un bar/restaurante en la zona "chic" de abajo, al lado de los hoteles y de los restaurantes caros. Con más tiempo, porque ya era tarde, hubiera posiblemente encontrado una relación calidad precio mejor; pero para eso hay que recorrer todo el pueblo, en cada pueblo turístico, hasta encontrar el sitio adecuado. Felices los que se pueden sentar a una mesa sin preocuparse por el precio de lo que van a comer o a cenar.

A las doce de la noche, cuando vuelvo a la pensión por un sendero con fuerte desnivel, que ayuda a digerir la cena pobre, el perro minúsculo que me ladra -y la dueña- me están esperando, quizás por pura casualidad. Acaricio al animal, que es hembra según voy a saber, que se tumba voluptuosa. Le digo a la dueña  que no entiendo porqué ladran tanto los perros, que nunca he tenido ninguno, al contario que gatos. Ella me dice : -"¡qué puta es!...".  Pienso, pero demasiado tarde, cuando ya estoy en la cama, que son los del mismo oficio los que más entienden; que le debía yo de haber propuesto algo poco honesto; que qué lento soy en entender las cosas, que  pensé que era una mujer casada.

 Por la mañana, la mujer  no está. Llamo al timbre pero nadie viene, le dejo el dinero convenido en un rincón del despacho y me voy sin desayunar allí. Menos mal que yo tenía cambio; no importa.


A diferencia de la costa vasca vizcaína o guipúzcona, muy bellas también, la cántabra casi no tiene plantaciones de pinos o de eucaliptus, que suelen abarcar, en Vasquia, toda la superficie del acantilado-monte, hasta el  mar, cuando no son praderas para pasto, lo que limita muchísimo la perspectiva-visión del monte lindante con el mar y del mismo mar, cuando los árboles están omnipresentes. Por ello. la costa Cántabra es espectacular en el mejor de los sentidos de la palabra espectáculo, aunque algo desnuda de árboles autóctonos, que creo que habría que ir plantando, pero no intensivamente, en varios sitios.




Primaridad de los colores






Punta Ballota







 ¿ Quién cree que las costas de España están en línea recta ? ¿ Y las de Gran Bretaña ?






















Los Picos de Europa aún con nieve










Flores de duna/acantilado

































Sin palabras






















Formas naturales notables y alguna artificial también notable






















































Playa de Cóbreces






Llegando a Comillas










Playa de Comillas