Algunos números primos pequeños .

La moda está a lo muy grande en el dominio de los números primos y no sólo ahí; los estadounidenses, no sin mérito, encuentran con búsquedas colectivas por ordenador, primos de Mersenne de más de 10 millones de cifras; nosotros seguimos pensando que la calidad vale más que lo mucho y el exceso, "nous l´allons montrer tout à l´heure"...


Sean números de la forma  N =  b^(c^n) + k  (b, c, n enteros positivos mayores que 0, excepto n que puede ser 0; k entero distinto de cero, positivo o negativo) y consideremos  para un número k determinado, qué números b producen 3, 4 o 5  números primos "consecutivos"  desde para n = 0, 1, 2 hasta para  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .


Es casi demasiado conocido que para b=2 , c =2 y  k=1, se trata de los números de Fermat. Menos gente sabe que para que sean primos para valores sucesivos de n (5 valores  consecutivos de n, por ejemplo, como en el caso de los números del francés); la condición de partida es que b y k sean de distinta paridad; uno par y el otro impar,  de otra manera N sería divisible por 2, es decir par; pero no tiene porqué ser concretamente b= 2 y  k=1; ni es por otra parte más importante la base "b" exponenciada que el sumando "k". b y k son igualmente determinantes para  la primalidad de N.



1) c = 2 y k = 1

a) Números b tales que  N =  b^(2^n) + 1 es primo para 3 valores sucesivos de n; n= 0, 1 y 2 :

2, 6, 180, 210, 430, 466  hasta  5*10^3. Por ejemplo, los tres primos para b = 6 son 7, 37, 1297


b) Números b tales que  N = b^(2)^n + 1 es primo para 4 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2 y 3 :

2, 19380, 285090, 337536, 448630  hasta 5*10^5.


c) Números b tales que  N = b^(2^n) + 1 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 


2, 337536, 585106, 602056, 2071960, 11861410, 20706120     hasta 5*10^7.

Los números que terminan en 2, (que son 2 mod 10) no pueden ser candidatos porque las potencias de 2 terminan ciclícamente en 2, 4, 6  y   4+1 = 5; una terminación en 5 es divisible siempre por 5 y no es primo con la excepción del propio número 5; que es la excepción para b = 2, en los números llamados de Fermat. La divisibilidad por 5, en algún momento, es la que impide que los números b terminados en 2 en 4 o en 8, exceptuando el propio 2, puedan tener  primos para valores consecutivos de n.


2) c = 2 y k = 3

Números b tales que  N = b^(2^n) + 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2564954, 4505138, 6319754, 10004666, 13410068, 28358686, 31079126, 31331314, 37983154, 40470296, 43452004  hasta   5*10^7.


3) c = 2 y k = -3

Números b tales que  N = b^(2^n) - 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2652442, 3172720, 4564834, 9580670   hasta  10^7.


4) c = 2 y k = 2

Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 22155, 1864149, 2760681, 6222765, 22687797, 25631319, 29309589, 33333069, 36490905,    hasta  5*10^7.


Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 6 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3,  4 y 5 


2760681     hasta  5*10^7.


5) c = 2 y k = -2

Números b tales que  N = b^(2^n)- 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

191829, 5746411, 8636389, 9698023    hasta  10^7.


6) c = 2 y k = 4 o k = -4

Números b tales que  N = b^(2^n) + 4 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

Los b deben de ser 5 mod 10 (terminados en 5) si se quieren más de 3 valores de n consecutivamente primos. No hay ningún b con 5 valores de n consecutivamente primos, si no me he equivocado, hasta  b = 5*10^7. Y la razón de ello es que n^4 + 4 = (n^2 - 2*n + 2)*(n^2+2*n+2) y por tanto no es primo. Por otro lado N = b^(2^n) - 4  es la diferencia de dos cuadrados y por tanto no es primo.


7) c = 2 y k = 10

Números b tales que  N = b^(2^n) + 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 86913, 193123, 1860747     hasta  10^7.


8) c = 2 y k = -10


Números b tales que  N = b^(2^n) - 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

27561, 859707, 1033281, 3354681, 6370581, 6442863, 8030397      hasta  10^7.


9) c = 2 y k = 25

Números b tales que  N = b^(2^n) + 25 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

618, 822252, 1030222, 1071618, 1203438, 1385868, 2937922, 3114304, 6322336, 8826808,

10) c = 2 y k = 1000

Números b tales que  N = b^(2^n) + 1000 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

172429, 1737307, 1963899, 2063913, 5855967, 6742069, 8911927, 9253569     hasta  10^7.


11) c=2 y k = -1000

Números b tales que  N = b^(2^n) - 1000 es primo para 5 valores sucesivos de  n= 0 a n = 4 


264201, 923247, 2478177, 9310479    hasta  10^7.


12) c = 3 y k = 3

Números b tales que  N = b^(3^n) + 3 es primo para 4 valores sucesivos de  n = 0 a n = 3

10850, 41440, 106106, 209984, 232004, 680584, 1144526, 1908866, 2577310, 3478036, 4096316,
4774384, 5253604, 5310284, 5367200, 5514910, 5677220, 5853044, 6946060, 7058456, 7568566,
8030104, 8036986, 8652824, 9003874, 9607906, 9895460, 9975370     hasta 10^7.



13) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 para b  <=  30 y 1 < = k  <=  100000



[2, 15] [2, 4647] [2, 15885] [2, 23055] [2, 25167] [2, 56907] [2, 58437] [2, 59007] [2, 63585]

[2, 66747] [2, 78567] [2, 82137] [2, 95787] [3, 440] [3, 18248] [3, 20120] [3, 32300] [3, 32360] 

[3, 38180] [3, 40930] [3, 48778] [3, 54440] [3, 57710] [3, 71470] [3, 80920] [3, 82490] [4, 93]  

[4, 2535] [4, 9087] [4, 10207] [4, 15667] [4, 35743] [4, 53097] [4, 61207] [4, 62307] [4, 66747]

[4, 74127] [4, 75013] [4, 82555] [4, 86557] [4, 87735]  [5, 1518] [5, 4134] [6, 1081] [6, 2431] 

[6, 2797] [6, 12583] [6, 14711] [6, 29393] [6, 34433] [6, 81167] [6, 95197] [7, 8712] [7, 19420]

[7, 28722] [8, 52305] [9, 32300] [9, 32362] [9, 80920]  [10, 5383] [10, 26151] [10, 88641] 

[11, 8058] [11, 93912] [12, 7165] [12, 95075] [14, 405] [14, 68247] [15, 11456]  [16, 81] [16, 21091]

[16, 53097] [16, 71971] [16, 86067] [17, 66432] [19, 88848] [20, 1071] [20, 16641] [20, 30783] 

[21, 15206] [21, 30496] [21, 69982] [22, 8607] [22, 51697] [22, 72255] [23, 12228] [23, 95208]

[25, 57688] [26, 56895] [27, 42322] [30, 3089]



 Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 :

15, 440, 93, 1518,  1081, 8712, 52305, 32300, 5383, 8058, 7165, 196168, 405, 11456, 81, 66432, 
102745, 88848, 1071, 15206, 8607, 12228, 270185, 57668, 56895, 42322, 339835, 120510, 3089

Conjeturo que esta sucesión no sólo es infinita sino que además, en ella están representados todos los números naturales sin excepción (Todo número natural b tiene un k).

 Sea l la cantidad/longitud de estos primos producidos por valores consecutivos de n, con comienzo en n = 0. 
Conjeturo además que para l = 7 ocurre lo mismo que para l = 6. No me atrevo a inducir más, pero lo pienso.
Conjeturo también, inspirado en el conocidísimo resultado de Terence Tao que existe un par de números enteros (b,k) para cualquier longitud l.

Nota:  Mis conocimientos matemáticos son demasiado escasos, mi mente demasiado simple, para intentar siquiera demostrarlo; soy sólo un "amateur" matemático  y nada más.

14) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 para b  < = 50  y 1  <=  k  < = 10^6

[2, 66747] [2, 357567] [2, 475425] [2, 823725] [2, 828807] [3, 18248] [3, 32300] [3, 80920]

[3, 105260] [3, 481858] [3, 718838] [4, 53097] [4, 105513] [4, 305347] [4, 475425] [4, 497953]

[6, 142531] [10, 266251] [10, 572509] [12, 95075] [14, 657645] [15, 325528] [16, 71971] 

[19, 682318] [25, 816078] [36, 466211]

Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 :

66747, 18248, 53097, 2037018, 142531, 1691820, 1322535, 1659002, 266251, 6185640, 95075, 2518780, 657645, 325528, 71971, 2533260, 21494113, 682318, 3114879, 6523742, 9196027, 3588090, 12492473, 816078, 14837001, 12060370, 2933065, 12212058, 3122953

Generalizando los números de Fermat

k = 14899339905 es el menor número k tal que el número ** N = 2^(2^n) + k es primo para 10 valores consecutivos de n; n= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 **


 k=14899339905;for(n=0,10,a=2^2^n+k;if(isprime(a),print([a,n,ceil(log(a) *0.4343)])))


[14899339907, 0, 11]

[14899339909, 1, 11]

[14899339921, 2, 11]

[14899340161, 3, 11]

[14899405441, 4, 11]

[19194307201, 5, 11]

[18446744088608891521, 6, 20]

[340282366920938463463374607446667551361, 7, 39]

[115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007928028979841, 8, 78]

[13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433663905424001, 9, 155]


 Las últimas cifras a la derecha indican el número de dígitos (o cifras) de cada número primo. De propina, además N = 2^(2^n) + 14899339905 es también muy muy muy muy probablemente primo para n = 14; un número con 4933 dígitos. Todos los números, exceptuando este último, demasiado largo; han sido comprobados primos.

 He aquí el programa escrito en "Pari gp" dotado con una criba módulo 53130; para acelerar la búsqueda y hallar este número k :


 forstep(k=13999967547,10^11,[120, 18, 12, 48, 120, 12, 60, 138, 42, 30, 168, 12, 30, 108, 60, 30, 252, 78, 42, 48, 12, 18, 12, 108, 60, 30, 42, 138, 42, 108, 90, 42, 90, 30, 48, 162, 90, 90, 60, 60, 78, 42, 18, 12, 168, 12, 138, 60, 72, 138, 42, 30, 78, 90, 30, 12, 180, 18, 42, 48, 30, 60, 42, 30, 48, 120, 132, 78, 12, 120, 18, 12, 180, 18, 42, 138, 72, 180, 30, 108, 60, 12, 60, 78, 60, 42, 150, 48, 42, 120, 48, 12, 18, 42,78, 60, 72, 180, 120, 18, 60, 120, 12, 30, 48, 252, 120, 18, 12, 60, 120, 18, 12, 108, 60, 12, 60, 78, 60, 42, 30, 168, 12, 30, 108, 60, 30, 252, 48, 30, 42, 48, 12, 30, 48, 42, 18, 60, 132, 78, 42, 90, 18, 222, 30, 210, 180, 60, 78, 60, 42, 18, 12, 78, 90, 12, 138, 12, 48, 72, 48, 42, 48, 42, 30, 78, 90, 42, 180, 108, 12, 18, 60, 42, 78, 12, 240, 90, 120, 18, 12, 108, 72, 18, 42, 78, 60, 72, 78,42, 60, 30, 108, 60, 12, 60, 48, 30, 60, 42, 150, 48, 42, 48, 72, 48, 12, 120, 18, 60, 132, 120, 120, 18, 180, 12, 30, 108, 312, 18, 12, 78, 42, 60, 18, 12, 108, 60, 12, 60, 78, 12, 48, 42, 30, 48, 120, 12, 30, 108, 60, 330, 12, 18, 42, 60, 78, 42, 18, 192, 138, 72, 18, 120, 102, 30, 78, 132, 120, 60, 60, 78, 60, 42, 30, 48, 30, 90, 12, 138, 12, 48, 120, 42, 48, 42, 90, 18, 312, 108, 12, 18, 120,60, 12, 138, 102, 210, 18, 12, 108, 12, 60, 18, 42, 48, 30, 60, 72, 78, 42, 60,30, 48, 42, 18, 60, 12, 108, 30, 60, 42, 150, 138, 72, 60, 120, 18, 120, 72, 138, 102, 18, 90, 42, 48, 12, 30, 108, 180, 42, 90, 30, 78, 42, 60, 30, 48, 60, 60, 12, 138, 12, 48, 42, 78, 132, 138, 390, 12, 18, 42, 78, 60, 42, 18, 90, 42, 60, 138, 72, 18, 90, 30, 12, 90, 30, 48, 30, 132, 90, 30, 60, 120, 18, 60, 42, 78,30, 102, 138, 12, 168, 42, 180, 18, 120, 210, 42, 48, 12, 18, 120, 12, 48, 12, 108, 30, 102, 78, 132, 30, 108, 12, 60, 108, 30, 60, 150, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30, 252, 138, 72, 78, 42, 60, 18, 120, 12, 60, 138, 102, 78, 30, 42, 48, 12, 30, 48, 60, 180, 12, 30, 90, 90, 18, 42, 60, 78, 60, 72, 138, 12, 168, 270, 90, 252, 48, 12, 18, 42, 48, 30, 12, 48, 42, 78, 30, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30, 12, 90, 78, 30, 222, 30, 60, 120, 18, 120, 60, 30, 240, 12, 120, 48, 42, 120, 60, 18, 90, 30, 12, 198, 42, 48, 12, 78, 42, 18, 12, 48, 12, 108, 30, 102, 78, 12, 120, 138, 12, 60, 108, 30, 210, 42, 138, 42, 18, 132, 48, 30, 252, 48, 42, 48, 72, 48, 30, 42, 60, 78, 60, 12, 60, 120, 18, 102, 78, 30, 42, 60, 78, 60, 180, 12, 30, 108, 72, 18, 42, 78, 60, 60, 132, 78, 12, 120, 48, 120, 42, 168, 30, 252, 48, 12, 108, 12, 18, 12, 48, 42, 78, 30, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30,12, 168, 30, 222, 30, 120, 60, 18, 120, 12, 48, 30, 90, 162, 48, 72, 48, 42, 48, 42, 30, 60, 108, 30, 12, 180, 18, 42, 60, 78, 42, 18, 12, 60, 108, 30, 180, 12, 138, 120, 12, 78, 42, 48, 30, 132, 78, 42, 90, 48, 42, 78, 72, 48, 90, 42, 198, 42, 48, 120, 12, 18, 42, 60, 78, 60, 12, 60, 120, 18, 120, 60, 30, 42, 138, 60, 180, 12, 30, 108, 12, 60, 18, 42, 78, 12, 48, 120, 72, 90, 48, 42, 30, 48, 120, 12, 30, 168, 30, 252, 60, 108, 12, 18, 12, 108, 60, 30, 42, 138, 42, 18, 90, 90, 30, 12, 120, 48, 30, 132, 90, 30, 120, 60, 78, 42, 18, 12, 48, 120, 12, 198, 72, 138, 42, 30, 60, 108, 30, 12, 180, 18, 42, 78, 60, 42, 18, 12, 168, 30, 180,12, 138, 12, 120, 78, 42, 48, 90, 72, 180, 30, 48, 42, 78, 12, 60, 138, 42, 198, 42, 168, 12, 18, 42, 78, 60, 60, 12, 180, 18, 120, 60, 30, 42, 48, 42, 48, 240,12,30,90,18, 12, 60],i=0;for(n=0,9,a=2^2^n+k;if(ispseudoprime(a),i++;if(i>8,print([k,n,i])))))


  *Explicación concisa pero seria de la criba* :

Queremos hallar un número k tal que el número N = 2^(2^n) + k sea primo para valores consecutivos de n, desde n=0.
Para ello k ha de ser impar ; de otra manera N sería divisible por 2.  Vamos a utilizar  la teoría (sencilla) modular de Gauss. El resto entero "a" tras una división de cualquier número entero por el número entero "b" se llama "a módulo b" y se puede escribir " a mod b" . Consideremos que b=10 y en este caso "a" será el último dígito  o última cifra de un número dado. 2^(2^n) = (2^((2^n)/2))^2 tiene como último dígito sucesivamente:
2-->4-->6-->6.... ya que son cuadrados sucesivos uno del otro , que el cuadrado de 4 es 16 y que el cuadrado  de cualquier número que termine en 6, termina en 6. Si k = 1 mod 10 N = 1+4 = 5 mod 10 para n = 1. Los números que terminan en 5  son divisibles por 5, y N no sería entonces primo para n = 1. Si k = 3 mod 10, entonces para n = 0; N = 2+3 = 5 mod 10 no sería primo. Y si k = 9 mod 10;  N = 6 + 9 = 15 = 5 mod 10 sería divisible por 5. Así que k, que debe de ser impar, sólo puede ser  k = 5 mod 10 o k = 7 mod 10. (k terminará siempre en 5 o en 7).

 Tomando b = 3, vemos que (2^((2^n)/2))^2  es sucesivamente 2 mod 3-->1 mod 3-->1 mod 3..... El 1 mod 3 se repite indefinidamente, porque el cuadrado  de 1, para cualquier módulo, es 1. Deducimos que k no puede ser ni  1 mod 3 ni 2 mod 3 porque entonces N sería 1+2 = 3 = 0 mod 3; es decir divisible por 3 y por tanto no primo. Luego k debe de ser k = 0 mod 3, divisible por 3. Esta condición unida a las dos anteriores nos da que k debe de ser k = 15 mod 30 o k = 27 mod 30. Sólo tenemos que mirar 2/30 = 1/15 de los valores posibles de k.

Los cuadrados sucesivos de 2 mod 11 son cíclicamente 2,4,5,3 y 9 mod 11 por lo que debe de ser k = 0,1,3,4,5 o 10 mod 11---> k = 15, 27, 45, 87, 135, 147, 165, 177, 225, 267, 285, 297 mod 330. El programa (en Pari gp) para encontrar algún k con 10 valores primos consecutivos N; desde n=0 y desde  k= 600000000  sería : forstep(k=600000075,10^10,[12,18,42,48,12,18,12,48,42,18,12,48],i=0;for(n=0,9,a=2^2^n+k;if(ispseudoprime(a),i++;if(i>7,print([k,n,i])))))
Ahora sólo tenemos que comprobar 12/330 = 1/27,5 números k; iremos casi 2 veces más rápido que antes  con 1/15.
Hay que tener en cuenta que k debe de ser 15 mod 330. El vector [12,18,42,48,12,18,12,48,42,18,12,48] son los incrementos sucesivos que se le van dando a "k".

Repetimos la operación con 7 y con 23. Y obtenemos que sólo hay que comprobar 780 resíduos de entre 330*7*23 = 53130, es decir 1 / 68,1 de los posibles valores de k. Iremos 68,1/27,5 = 2,5 veces  aproximadamente más rápido que módulo 330.

**k debe de empezar, si se para el programa y se empieza de nuevo, en 27 mod 53130. Para ello se debe de empezar en k = k aproximado que se quiera - k mod 53130 + 27.  **


Cuanto más se profundiza en el módulo, más rápido se irá, pero con más gasto de memoria RAM del ordenador. Un equilibrio entre profundidad de la criba y memoria gastada es necesario. Evaluo que en mi ordenador podría encontrar el menor número k con 11 primos consecutivos; profundizando bastante más la criba; pero buscando un número importante de números k con 10 primos consecutivos y comprobándolos todos posteriormente por si tienen el undécimo; este método sería el más rápido. No creo que llegue jamás a encontrar con sólo  mi ordenador  un k de 12 primos consecutivos, si existiera.

He aquí un programa patoso que escribí para encontrar los números primos más favorables para añadir, si menester fuera, a la criba. Los mejores son los que tienen el porcentaje más bajo; que he añadido a mano, porque no sabía como obtener un valor real resultado de una fracción racional, con Pari gp.


forprime(p=7,1000,a=2;l=floor(0.7*p);v=vector(l);b=a%p;for(n=1,l,v[n]=b;b=b^2%p);for(m=1,l,i=m;for(o=m+1,l,i++;if(v[m]==v[i],break(2))));u=vector(i-1);for(q=1,i-1,u[q]=p-v[q]);t=vector(p);for(r=1,p-1,t[r]=r);for(r1=1,p,j=0;for(r2=1,i-1,j++;if(t[r1]==u[j],t[r1]=0)));t1=vecsort(t);s=vector(p-(i-1));r4=i;for(r3=1,p-(i-1),s[r3]=t1[r4];r4++);if((length(s)/p)<2/3,print([length(s),p,length(s)/p])))

[6, 11] 54.5 %  [12, 19] 63.2 % [13, 23] 56.5 % [30, 59] 50.8 % [54, 107] 50.5 % [108, 163] 66.3% [85, 167] 50.9 % [133, 263] 50.6 % [174, 347] 50.1 % [181, 359] 50.4 % [294, 587] 50.1 % [421, 839] 50.2 % [445, 887] 50.2 % [493, 983] 50.2 %

Utilizando los primos más pequeños con porcentaje cercano a 1/2; podría llegar a una velocidad 2^3 = 8 veces mayor pero a costa de utilizar unos 780*70^3 = 270 millones de resíduos, más de 1 GByte de Ram.

Nota: Sólo soy un "amateur" básicamente autodidacta, con muy escasos conocimientos de programación y de matemática; con apenas los conocimientos básicos. Esto es fruto de esfuerzo, trabajo y sudor, más que de  talento; resultado también de pertinaz aburrimiento. Y a veces no logro ni la cpacidad de concentración suficiente para poder terminar algo. Llevo una semana, hoy al 01/04/2013, intentando unir todos mis programas en uno sólo muy rápido y optimizado y a medida, pero no puedo ni empezar siquiera; no logro concentrarme en ello; no puedo a veces  ni  pensar. Lo tendré que dejar abandonado, como está, sin haber tenido la satisfacción de haber hallado el *menor número k* de 11  primos consecutivos y el de haber intentado al menos encontrar el casi inalcanzable, para un ordenador personal, *menor número k* de 12; se necesitarían 2^12*ln2 = 2800 ordenadores como el mío trabajando juntos en tarea compartida.


Adenda al 03/04/2013 :  Un correo -e de la sureña Sofía Serra; mostrándome que, contrariamente a lo que yo creía, alguien me lee; me incita a seguir hablando, esperemos que sin intempestividad.

http://www.sofiaserra.com/

Farideh Firoozbakht, una mujer Iraní, encontró y publicó en la OEIS (On Line Encyclopedia of Integer Sequences) hace unos 6 años este mismo número.

http://oeis.org/A129613

Los cinco primeros términos de la sucesión son los valores k = 1 de los 5  únicos números primos, también consecutivos, conocidos hasta ahora de Fermat. He comprobado la exactitud de los 5 valores de k siguientes.

Y Jens Kruse Andersen, un simpático danés que escribe -en inglés- muy bien como su apellido indica, con quien he tenido el honor de cartearme -e una o dos veces; yo siempre aprendiendo de él; recopilador y hallador él mismo de asombrosos records del mundo en torno  a los números primos; encontró hace unos 3 años el menor número k que genera 11 primos de Fermat generalizados (1) consecutivos.       k = 8073774344085.    

http://users.cybercity.dk/~dsl522332/

Me siento halagado y feliz que una mujer Iraní haya encontrado lo que yo también he buscado; antes que yo.

(1) : Números de Fermat Generalizados  son números de la forma N = b^2^n + k siendo b y k  números enteros y pudiendo ser k negativo. Es probable que k = 14899339905 sea el menor número k positivo que produce 10 primos consecutivos para todos los valores de 2 <=  b  <= k; pero habría que comprobarlo escribiendo un programa-criba automatizado, ya que la criba ha de ser diferente para cada nuevo valor de b. No sé si sería factible comprobarlo computacionalmente con las funciones "isprime" o "ispseudoprime" de Pari gp o si sería demasiado lento ya que los números N = b^2^n + k con b cercano a 1,5 * 10^10 tienen del orden de 5200 dígitos para n = 9.

Aquí van unos ejemplos de números N = b^2^n + k con 6 valores primos consecutivos para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, escritos en la forma (b , k) con b distinto de 2 y k distinto de 1 :

(3 , 440)

(5 , 1518)

(6 , 1081)

(14 , 405)

(20 , 1071)

(67 , 240)

(1145 , 7554)

(1938 , -7)

(1989 , 8072)

(2614 , 9505)

(2775 , -824)

(3863 , 8418)


 Por ejemplo los 6 números primos de (20 , 1071), el último número, después del valor de n, indicando el número de dígitos del número primo en cuestión, son :


[1091, 0, 4]
[1471, 1, 4]
[161071, 2, 6]
[25600001071, 3, 11]
[655360000000000001071, 4, 21]
[429496729600000000000000000000000000001071, 5, 42]



En un artículo de interés intitulado :  "La Ley Fuerte de los Números Pequeños",  Richard K. Guy da 35 ejemplos en los que una sucesión de números pequeños, parecen marcar una pauta que después no existe en realidad. El primer ejemplo es el de los cinco primeros números primos consecutivos de Fermat :
N = b^2^n  + k es primo para b = 2; k = 1 y n = 0, 1, 2, 3, 4  :

2^(2^0) +1 = 3; 2^(2^1) +1 = 5; 2^(2^2) + 1 = 17; 2^(2^3) + 1 = 257; 2^(2^4) + 1 = 65537; son todos   números primos; pero sólo para  los valores más pequeños de n. Para el siguiente valor de n (n= 5), N ya no es primo y hubo de esperar hasta Euler -por desinterés, creo yo; más que por la dificultad, aún trabajando (dividiendo) a mano- para saberlo : 2^(2^5) + 1 = 4294967297 = 641 * 6700417.  Bastaban 113 divisiones (1), nada que no se pudiera hacer en unos dos o tres días de trabajo monótono, no más, para llegar a la conclusión que no era un número primo. Como dice el propio Guy : "Ni más ni menos que una persona como Fermat se equivocó". Pierre el francés dijo, o eso parece, que todos los números de la forma 2^2^n + 1 serían primos. Yo creo más bien que  intentaba retar a otros colegas; él como "amateur" no tenía el tiempo suficiente; sin contar la estrechez de los márgenes de los libros, por aquella época...

Por otra parte, dentro de la "Ley de los números pequeños" podemos incorporar una "Ley de los números de tamaño medio" :  N = b^(2^n)  + k es primo para pocos valores y pequeños  de n y pocos valores y pequeños de b. Pero si k es de "tamaño medio"el número de esos pequeños valores de n que producen una pauta prímica; se puede duplicar.

Yo me sacaría además de la manga - pero Guy tiene razón- una "Ley de la insuficiencia de la muestra estadística utilizada"  En una muestra de 4000 números "b" con 10000 números "k"  probados  por cada uno de ellos; con  12 resultados hallados con 6 números primos consecutivos -expuestos más arriba- sólo    2 / 12 = 16,7 % de ellos tenían un k negativo (si el ordenador ni yo mismo hemos fallado); cuando el porcentaje debiera haber sido del 50 %.


(1) : 641  es el 116-ésimo número primo, pero no es necesario dividir por 2, 3 o 5. Pero si de verdad se quiere deducir; determinar si los números N = b^2^n + k son primos para todos los valores de "n"; para b=2 o  para cualquier otro valor de b; basta con tomar varios valores de k, dos o tres no más.

 Para k = 3 y b=2; N = 2^(2^n) + 3 es : 2^(2^0) + 3 = 5 es primo; 2^(2^1) + 3 = 7 es primo; 2^(2^2) + 3= 19 es primo; 2^(2^3) + 3 = 259 = 7*37 no es primo.

  Para k = 5 y b= 2; N = 2^(2^n) + 5 es : 2^(2^0) + 5 = 7 es primo; 2^(2^1) + 5 = 9 = 3*3 no es primo.

  Para k = 2 y b=3; N = 3^(2^n) +2 es :  3^(2^0) + 2 = 5 es primo; 3^(2^1) +2 = 11 es primo; 3^(2^2) +2 = 83 es primo; 3^(2^3) + 2 = 6563 es primo; 3^(2^4) +2 = 43046723 = 19^2*119243 no es primo.

Se ve fácilemente, sin necesidad de hacer 113 divisiones largas, que para valores de k distintos de k =1; no todos los N son primos. ¿ Porqué para k = 1 habrían de serlo ?

Por otra parte, Euler demostró, pero no tengo ni idea de cómo, ahora mismo; que los factores de los números de Fermat  no primos, eran de la forma k*2^n + 1, es decir de la forma k*2^5 +1 = 32*k +1 en el caso de n=5 por lo que, como 641 = 32*20 + 1 Euler sólo tuvo que hacer 20 divisiones como mucho, pudiendo descartar incluso algunas de ellas.


PS: No me interesan tanto los números como la relación que hay entre ellos que se puede extender a la relación que hay entre las cosas y los entes; el propósito es intenter lograr pensar poco pero bien, de la misma manera que El Quijote aconsejaba  a Sancho comer poco y cenar más poco; la calidad y no la cantidad, ni tampoco lo caro, esa es la meta, pues la salud de todo el cuerpo se forja en las oficinas de la mesura; una economía y una higiene del pensamiento del que los números no son sino un símbolo más, como lo son también las letras de las que tampoco  se ha de abusar, que nos inundan con exceso a veces; además de una colaboración amistosa con el ordenador que  aportará los datos que desconocemos, esclarecerá algo la situación, pero sin pontificación ni por su parte ni la del servidor que  tanto habla y no convence.

PS1:  Todo este texto-artículo-matemática-discurrir que antecede no representa lo que soy más que cualquiera de los demás textos escritos en este blog. Todos los textos escritos en esta bitácora han de ser tenidos en cuenta. En defensa de mi inocencia, diré que mi cerebro sigue siendo intervenido, controlado exteriormente a mi persona, por lo que parte de lo que digo e incluso que escribo; parte de mis gestos también; son de otros intrusos no invitados por mí; no son míos y por tanto son falsos; carentes de validez. Lo que digo es que un "no" o un "sí" dichos por mí, pueden en realidad haber sido dichos por otros, sin que yo siquiera me haya dado cuenta, sobre todo hace unos años, en el que me tenían mucho más dormido e inconsciente (fuera de mí mismo) que ahora. Por otra parte reitero que me han hecho olvidar todo del pasado y que no sé tampoco del presente. No sé nada, no trecuerdo nada; y ni siquiera conozco las reglas que rigen este mundo de ahora; ni el de antes; no estoy hablando de las reglas generales del derecho, que cualquiera, inteligente, entiende.



 

Una sucesión muy natural y a la medida siempre de uno.

Sea la sucesión de números enteros positivos definida con tres parámetros: a(n, m, p) donde n denota el enésimo término de la sucesión; m denota el número de términos que queremos que sean consecutivos y p denota el valor que queremos que tenga el (m+1)-ésimo término de la sucesión.

  a(n)=n+(n-1)(n-2)...(n-m)(p-(m+1))/m!

Tendremos para todo m positivo  y todo p > m+1 y todo t positivo   :

a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 3, ...., a(m) = m, a(m+1) = p, ...., a(m+t) = m+t+(m+(t-1))(m+(t-2))...(m+1)(p-(m+1))

Ejemplos:

a(n, 6, 1000)  :  1, 2, 3, 4, 5, 6, 1000, 6959,...

a(n, 9, 55555) :  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 55555, 555461,...

a(n, 1000, 1002) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,..., 1000, 1002, 2003,...

a(n, 12, 14) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 27,...




Vemos con ello que los tests de inteligencia lógica no son tan lógicos, (puesto que la fórmula general de esta sucesión no es en exceso complicada; está compuesta sólo de tres operaciones elementales: suma, multiplicación y división y se escribe con  37 símbolos que la definen totalmente; mientras que "sucesión de números naturales hasta m"  consta igualmente de 37 símbolos; 39 si m tiene 3 dígitos. En ambos casos la pregunta es "¿cual es el término siguiente ?" y la respuesta con mi definición de a(n) es: p>m+1; el que tú decidas) y permite que cualquiera que sea el número de términos consecutivos de una sucesión dada, el siguiente sea el que queramos nosotros; siempre. Sólo se complica ligeramente; pero no tanto, considerando que estamos en la era de los ordenadores; si queremos calcular los términos siguientes a los m+1  primeros.

PS: La inspiración proviene del astrofísico español Eduardo Battaner cuyos libros "Planetas" y "Física de las noches estrelladas" son excelentemente divulgativos. Me he limitado a generalizar una idea suya.

Curva de Peano en su iteración primera; curva que llena el plano; ocupa todos lo puntos del plano en la iteración n-ésima cuando n tiende a infinito. Un segmento inicial (123 en a figura) se subdivide en 9 segmentos iguales de longitud 1/3 cada uno. En la segunda iteración se realiza el mismo proceso para cada uno de los 9 segmentos. Y así en cada iteración sucesiva. Abajo está la iteración segunda. Dibujos hechos a mano personalmente. La sencilla curva de Peano es además un fractal, aunque poco estético, geométricamente muy simple comparado con los fractales en números complejos, aunque de operacion sencilla; de Mandelbrot u de otros.

 

Bohemios y rapsodias

http://www.youtube.com/watch?v=RPnp8AvxidU

Cuando estaba viajando por estadosunidos sin un santo céntimo, en el año no desprovisto de gracia de 1973; recuerdo varios episodios raros en los que gente que sabía el deplorable estado mental en que yo me encontraba y aún me encuentro; pero ahora lo sé; antes no; me llevaba en su coche, haciendo autoestop y me hacía preguntas raras que yo, ingenuo casi total, solía a veces contestar que sí.
Uno de ellos, no lo recuerdo con plena exactitud, me preguntó si me gustaba la música y dije que mucho; que si podían hacer una canción en que se hablara de mí, para ayudarme; y quizás no dije que no. Me dijo que le hablara de mí; yo le dije más o menos:

 "¿Is this the real life; is this just fantasy? I´m just a poor boy, i need no sympathy."

 Después me dijo que qué me había asustado más en la vida. Yo le dije en aquél momento que quizás el ver a un enano adulto y muy mayor;viejo pero igual de alto que yo; cuando tenía cuatro o cinco años. En la canción  esa colaboración  avant-la-lettre se refleja en el siguiente verso:

"I see a little silhouetto of a man Scaramouche, Scaramouche ; thunderbolt and lightening; very very frightening me; Galileo; Galileo..."

Los truenos y relámpagos, así como Galileo y Scaramouche son relleno, excusa literaria, aunque de calidad; hay que decirlo. Después cuando iba casi a bajar del coche me preguntó que qué me importaba más. Debió repetirlo hablando más lentamente, creo recordar ahora, pues no lo entendí bien, mi inglés era y aún es deficiente; y la respuesta es el final melancólico, desesperanzado de la canción :

 "Nothing really matters, anyone can see, nothing really matters to me"

Me refería a que por desgracia, existen situaciones en que nada podrá aliviar tu dolor mental, espiritual; que no físico como han dicho en la canción; probablemente porque recuerdo, entre tanto espacio de olvido, la memoria son lanzas finas que sólo tiznan en un punto; que no sabía como se decía "tristeza-dolor" en inglés y dije "pain" con la insistencia torpe del que intenta precisar más y sólo alcanza a repetir; en vez de decir "sorrow".
La realidad es lo contrario. No hay prácticamente nada que no me importe; que no tenga su importancia y a la vez hay que  procurar que nada importe, no ser esclavo ni dependiente de nada.

La canción empieza con que el sufriente protagonista ha matado de un disparo a alguien y yo nunca lo he hecho ni he pensado nunca en hacerlo; otro relleno literario; y añade también algo que yo no dije, porque yo no lo sabía entonces :

 "Beelzebuth has a devil put aside for me".

 Bel es mi hermano putativo; pero no lo supe, entre neblina densa, hasta hace unos pocos años apenas; y es cierto que no creo que tenga muy buenas intenciones para con mi persona; pero quizás también esté su lado bueno artista; norteño por norteoesteño; del que escribía también con densidad en márgenes de libros demasiado estrechos; un Bel quizás más amistoso en ambos casos; me lo dijo él mismo.

Queda por último por dilucidar la espinosa cuestión de la identidad sexual; es sabido que Freddy era bastante alegre. Poco he de decir  que la diferencia entre un alegre y yo es que yo soy más bien triste. Por lo demás, no nos diferenciamos demasiado.
 Y al jefe de los alegres, o subjefe de ellos, que vino a verme en Lyon Francia cuando justo me habían expulsado de la escuela de ingenieros; y no nos conocimos, diga él lo que diga; quiero susurrarle que no le he firmado ningún cheque en blanco ni en azul siquiera. Que defenderé que no haya discriminación por alegría o por otras causas; pero que no acepto que se les sacralice. Que ahora que nadie se quiere casar, sean ellos justamente los que lo pidan insistentemente, me parece bastante mal. Y si sobrevivo en este valle en el que estamos, lo combatiré con fuerza. Los hijos adoptados o no tienen el *derecho primordial* de tener padre y de tener madre. Ambos y esenciales sustentos. La canción de Freddy es una canción con calidad.

Mensaje-en-la-botella añadido unas tres horas después: Se me olvidó reseñar que no entendí nada o casi nada de lo que me dijo en el año de 1973 el sub comandante de los alegres; en todo caso lo que se me decía por aquél entonces era de inmediato olvidado, sin ningún proceso consciente mío previo y sin que mi voluntad pudiera ejercer oposición. Mucho después ha sido cuando he podido ir recordando y reconstruyendo; hasta entender más o menos; más menos que más pero mucho más que el menos-nada de antes; cuando no sabía yo quien era yo ni quienes los demás ni lo que me pasaba y aún no sé prácticamente nada; no entiendo casi nada, apenas sé quien soy. ¿ Quién me explicará y me ayudará en lo que he de saber, también para poder protegerme; pues no sé ni cómo ahora; sin olvidar de hablar de las  reglas, las de ahora y las de antes también, que desconozco **por completo** ?

Y Llovía, Llovía...

Las persistentes lluvias o granizadas caídas sobre la muy noble y muy leal al dinero villa de Bilbato y sus alrededores, este mes de febrero del año no sin gracia de 2013, me han hecho pensar que son perfectamente capaces de acusarme a mí de ser el responsable de ellas; ¿ who´ll stop the rain ? , se preguntaban, y viene a cuento; en el sur, en el Bayou lejano ¿ quién va a parar esta lluvia a cántaros ?

Para deshacerse del antiguo amigo basta, como ya dije aquí : "El que no comprende es el culpable" :
http://lit-et-raire.blogspot.com.es/2013/01/los-que-quieran-acabar-con-su-antiguo.html
con pillar a un inocente -yo o cualquier otro- hacerle incapaz de entender el conjunto de las organizaciones y divisiones pero unidas y amontonadas de Taifás que le rodean -hasta hace muy poco desconocía incluso que existían-, hacerle incapaz de oír lo que le dicen o bien incapaz de entenderlo o bien incluso las dos cosas a la vez; añadir a ello, que no pueda hablar, se quede mudo sin poder decir una sola palabra cuando le pregunten algo, y así no se pueda nunca defender o que cuando hable diga cosas que son los que controlan su cerebro intermitentemente (a veces sí, a veces no) dicen, y él ni se da cuenta; y solo falta  entonces echarle la culpa; él que no se entera de nada; de todas las fechorías  que otros han hecho, con las que él no tiene absolutamente nada que ver.

 En las democracias perfectas y bien limpias estilo soviético o  bien estilo norteoesteño gástese-usted-todo-lo-que-pueda-a-qué-espera-usted-para-comprar-más-para-ser-más-feliz que son casi idénticas y nos engañan los falsos ideólogos sin cesar con que son opuestas, una de ellas el paraíso y la otra el infierno y nunca se sabe cual es cual; en las que estamos inmersos a la fuerza o no -a algunos les gusta- si alguien no entiende lo que le rodea, porque le han dejado **técnicamente; substancialmente** fuera de todo; y porque ni siquiera se lo han explicado; y no puede defenderse; entonces,* él, que no puede defenderse*, *el que no puede defenderse*, **es el culpable** , paga los platos rotos y el mal hecho por los listos de esas democracias impolutas sin falla.

Me acuerdo que en las inundaciones en Bilbao de hace unos 30 años, aquél día yo había estado de juerga hasta las doce de la tarde, pero había trabajado hasta las 5 de la mañana . Me desperté, pues estaba solo, como siempre, qué horrible sino, como a las 12 de la noche y no había luz, todo estaba oscuro y  no había casi nadie por las calles del barrio. Yo malvivía entonces de vender artesanía baratilla en las fiestas de los pueblos; pedí un taxi para ir a trabajar y le dije que al Casco Viejo. Me dijo que no se podía y así supe que se había inundado, pero además desmesuradamente. Me preguntó si no lo sabía; le dije que no, pues efectivamente, no sólo no lo sabía sino que no me lo creía, que el agua llegara hasta el primer piso de los inmuebles y aquello era Dantesco . En el puente, no el de San Antón sino el de Ribera o el de la Merced, alguien que yo no conocía, mientras  veíamos algunas bombonas enormes de gas líquido o de productos químicos de 4 metros de largo y 3 de ancho pasar sobresaltándose y chocando con gran fuerza  por encima del puente totalmente cubierto por un  mar que fluía bravío a más de 30 kilómetros por hora; se acercó a mí y me dijo : "Tírate". Tardé en reaccionar y le dije que se tirara él; retrospectivamente me doy cuenta que, el exceso de democracia que nos rodea es insufrible; debí de haberlo hecho. No tengo yo nada que ver con aquellas inundaciones, que ciertamente yo no encargué. Y soy inocente de todo lo demás también.

Esperando a mi amor.

Igual o más que en la canción.

El dibujo es mío y es un fractal fallido, no totalmente fractal; dibujado por ordenador sin ninguna pretensión peculiar ni ningún significado explícito ni tampoco implícito; pero me gusta y hay que adornar los textos; dibujar la escritura. El fondo es cante y es cierto.

El que no comprende es el culpable.

Los que quieran acabar con su antiguo amigo, sólo deben hacer lo siguiente: 1-Manipular su cerebro para que no recuerde nada del pasado, ni del presente, y además de dejarle sin saber nada, dejarle fuera de los protocolos de comunicación de tal manera que no sólo no sabe, tampoco puede comunicar. Eso es lo que me han hecho para hacerme aparentar culpable; soy inocente. ¿Pero a quién decirlo y cómo? 2-Que los suyos no lo sepan, ni él reconozca a los suyos con los que no sabe ni puede comunicarse con ellos tampoco.  3- Que esa manipulación de su cerebro incluya la posiblilidad muy recurrida de que los que le controlan hablen de viva voz (o de otra voz más sútil) por él, sustituyéndole, sin que él siquiera se dé cuenta. Y al mismo tiempo, que no pueda hablar, cuando le preguntan algo y así sus controladores contestan ellos y él sigue sin notarlo. Por ejemplo, ante graves atropellos de los que ha sido víctima, contestan ellos, no él, que no le importa nada el atropello que le hicieron, que no hace falta repararlo. Y el atropellador se va tan contento a su hiper-democrático e hiper-feliz universo sin castigo para él y sus atropellos. O pueden contestar que sí o que no a lo que debiera ser contestado por lo contrario. 4- Un entorno cuidadosamente elegido, desde su infancia con un padre y una madre adecuados para tal mentira y tarea de exterminio personal: hacer que el inocente de todo parezca culpable de lo mismo. El entorno del "lam" vasco; ese continuo mentir reivindicando más para uno mismo, nada para los demás; esa destrucción con magia negra fascista y marrón - no con marxismo, ni socialismo supuestamente liberador de injusticia, eso es mentira; ni con catolicismo; otra mentira- de España y Francia y de Europa si pudieran; que los ingleses llaman inversamente "live"; y saben ellos lo que dicen; la historia de sus victorias sobre el resto, lo atestigua. 5- Que no entienda ni comprenda nada de nada de lo que le dicen y hablan, cuando sus controladores así lo requieran. Ni siquiera lo oye; sólo un ruido sordo aunque no fuerte, un torbellino de la nada en el cerebro. Que no pueda hablar y se quede mudo cuando el control así lo quiera. 6-Que mientan con profusión, achacándole lo que no ha dicho; no ha hecho; no ha pedido de ninguna manera ni para él ni para otros; ni autorizado; pero como él no se da cuenta; no le importa a los del todo gratis y sin riesgo para ellos solos. 7- El que escribe esto, el interesado y acusado inocente, está dispuesto no obstante a culpabilizarse en lo que fuera menester, para así arreglar las cosas si le explican lo que le hicieron olvidar y si dejan de controlar su mente y de acusarle de lo que no ha hecho ni dicho ni autorizado. PS: Según su hermano putativo, el que escribe esto quejándose y proclamando su inocencia, era el más "fuerte" (1) de antes y ahora es menos que nadie, y no está siquiera seguro de ser quién pudiera ser o haber sido, pero un poco antes, hace pocos semestres, ni eso sabía, sospechaba o entendía. (1): en francés; "fort". El título es irónico.

Dirigismo arquitectónico; urbanismo totalitario.

Me gusta Niemeyer a pesar de su locura  comunista fascista , su grandeza en delirio. No hay una sola construcción suya que no esté tocada de desbordamiento grandilocuente, megalomanía peligrosa en esencia, torpe y desbocada como un caballo libre del hombre, en la naturaleza; pero él no es un caballo que no altera el entorno de los hombres. Individualidad fuerte y sin control en contradicción básica por ello mismo con  comunismo y común.

 Pero me gusta porque enlaza con la  no rectitud en geometría y es cierto que la Naturaleza es curva, que el animal que ha de moverse relativamente -no sólo el hombre-  inventó y creó  la línea recta a contra pelo. Sólo olvidó el tropicalista sudista Niemeyer una cosa -adhiero a su sudismo pero de otra manera, adhiero a la multi polaridad cuando esta no rompa ni desgarre ni separe pero aúne. Olvidó que la línea recta es la distancia más corta entre un principio y un fin; el de una obra, el de cualquier obra; que de dos males hay que elegir el corto - no como Marx y los que en común todo lo ponen, menos sus privilegios y su mando; que elegían el largo. El mal largo incluso para ellos, no debe  ser impuesto.

Portugal, esa pequeña excrecencia Ibera periférica que debiera regresar a España, como lo hará la cataluña, sediciosa por culpa del dinero universal y planetario; contradicción; por la fuerza o no; ellos eligen. No se ha  de permitir la implosión destrucción de Europa Histórica -primero nosotros en España, luego la dulce Francia que las barbas de su vecino no debe ver pelar, el Reino Isleño Aislado; Teutonia; Italia y otros;  en reinos cortos y egóticos de Taifás, cuando hay países enormemente habitados amenazando con comprarnos  como pacientes hormiguitas  a todo el Occidente a medio plazo sin remedio (China por ejemplo; y la India en espera); ya funciona el reino asombrado de este mundo usurpado que nos domina, por desgracia así.

Una de las enfermedades, terrible fascismo en realidad; más comunes del comunismo;  es esa. Ser una doctrina que al pretender ser común a todos,  genera desbordantes monstruos únicos y solos que lo acaparan todo, dictaduras solemnes y falsas por doquier, precisamente por esa pretensión de representar sin resquicio y totalmente a los demás. Lo dictan todo en nombre de una generalidad a su medida, en nombre de todos , "pueblo" palabra sólo; "común" palabra sólo, que ellos por fuerza y derecho más-allá-de-lo-físico, derecho convertido en sociológicamente científico por medio de la sola palabra otra vez, otra vez inmune, prodigiosamente solemne y prodigiosamente cierta de Marx y de su Corte. Y prodigiosamente falsa la palabra de todos los demás bajo el fascismo y la palabra socialistas.

Portugal, decía, pequeñez que alumbra en Brasil su proyección más amplia, cuyo delirio ultramarino de grandeza se desborda en la inutilidad -o en una utilidad que desconozco por completo, que hubiera que temer- de la nueva capital Brasilia.

Una ciudad grandilocuente, falsa y falseada, producto de delirio constructor, ahistórica, inútilmente artificial; *dirigida*, construida *centralmente*, sin  participación de los de abajo -ni de los de al lado-  por unos pocos que se arrogan el derecho infame de *decidir ellos solos por todos los demás, en nombre de todos los demás*. Y sin que nadie de entre los demás pueda quejarse o protestar sin ser tachado de enemigo de la *palabra-(mal estático perenne)* "lo común" o enemigo de la aún más *palabra-(mal estático perenne)* "pueblo". Ellos solos, sus locos o malos constructores, representando a toda la humanidad en nombre de todo ella que sin embargo no ha sido siquiera consultada.

Recordemos que otras ciudades del mundo han sido obras del tiempo y de la historia y de *decenas de miles de arquitectos* que a pesar de normas o imposiciones centralistas de reyes, visires, conde duques, juntas democráticas o no tanto,  presidentes o alcaldes que mandan lo que quieren; han hecho ciudades  de muchos, para muchos, no locamente dirigidas ni usurpando el nombre de todos ni del pueblo. La dictadura del centralismo socialista que además siempre fracasa económicamente, empobrece  sin excepción,  allí donde se implante.

Claro que esta ciudad nueva puede incluso  gustar. En una ciudad  que se construye con el espacio que se quiere, este último abundará, proporcionará  la generosidad aparente -pero no el calor ni el carácter- de las ciudades viejas democráticas.

Me duele y lamento que en mi juventud, me hayan podido engañar tanto, haya podido yo ser tan ciego como para declararme  a veces comunista, haberles votado incluso tantas veces, demasiadas, aunque sin militar jamás; haber confundido dramáticamente el *comunismo* con el *bien* *que ha de llegar y que esperamos*.

 Dramáticamente, como tantos otros engañados. Engañados que no hablaron ni pensaron con  el conocimiento suficiente y necesario, cuyo hablar no era su hablar, cuyo pensar tampoco; parasitados; hablados y pensados por otros. No eran ellos ni siquiera en los casos en que ellos dijeron -pero no eran tampoco  en esos casos ellos- más de una décima de lo que se les achaca (1) ; (2).

Pero a pesar de todo, no me disgusta el talento de Niemeyer con la condición que no sea un talento impuesto, dirigista, totalitario. Lo es, mientras que la Naturaleza, que él intentaba en su elegante curvatura  reproducir;  no es centralista pero diversa y democrática; acepta a todos. Que no engañen  más.



PS: Esta crítica dura pero no despiadada, no pretende sin embargo dar un cheque en blanco a un capitalismo global que ha de saber también equilibrar, civilizarse y moderarse,  muchas veces.

Aquí abajo está la gran contribución de Niemeyer a la pobreza terrible en las favelas del Brasil. Una  escultura bonita e inútil a los pies de la pobreza, mientras se construía la ciudad totalitaria y socialista, pero no para  los pobres de las favelas. El socialismo sólo se ocupa de sus fieles servidores, reduce. Un mero adorno para la gente que debe de vivir con uno sólo de los billetes verdes cada día. Para los fieles y acríticos una ciudad entera  nueva. Para los pobres una escultura, un mero simbolismo curvo que engañe al hambre.

 Sé perfectamente a lo que me arriesgo por osar criticar al  socialismo dictador que siempre razón única y sóla  tiene. Somos los demás en todo caso, jamás ellos, los que nos equivocamos y pobremente erramos, según ellos, ellos que dictan .

 (1): El amable lector que por azar -o no- tropiece en el presente escollo, ha de saber que esto no es una metáfora literaria al uso y al desuso; que los parasitados lo son  literalmente; que literal es su  inocencia.

(2): ¿ Correrá el riesgo acaso una literatura que no diga o denuncie lo que yo afirmo aquí, de ser tachada de burguesa, como tacharon inpunemente a tantos, de decir poco o  decir nada y ser un mero adorno sin el respaldo del pueblo y de esos pocos que lo engullen, dicen representarlo para siempre?

El baile de las empezatrices

El baile de las debutantes, que yo prefiero llamar de las empezatrices; a sólo una letra de la cima de las cimas; se celebra en Francia y es signo de que las Galias a pesar de sus ¿"revoluciones"?? no han sabido sustraerse a  la llamada de un pasado glorioso o no desde su presente  glorioso. O no.

Claramente inspirado en la monarquía y en la conservación de algunos de  los valores perennes, sociales  y corteses,  no es de extrañar que atraiga  tanto a los republicanos de Estadosunidos y probablemente también a los demócratas aunque intenten ocultarlo más. Eso de no tener Historia a pesar de la conquista del satélite lunar único y  de todos ; de ser militarmente, científica e industrialmente los más fuertes; casi también culturalmente; llama a buscar pasado. Pasado y forma. Y está bien. Y está bien que sea en Europa.

No se ha de caer en la tentación fácil de criticar ese baile por ser el de los ricos o el de los poderosos o el de los dos. Hay que admitir  a la riqueza sin envidia , con generosidad y buena voluntad, sin culparle de todos los males que ella no gesta ni gestiona. Muchos de los propagandistas de la repartición forzosa comunista son bastante peores y a la historia de sus dictaduras y de su fracaso económico en esas dictaduras por todo el orbe terrestre hay que remitirse. Cierto; muy cierto también es que uno comprende a Pablo el del  sur - o a Miguel Hernández en umbra- y ese cansancio a veces de haber visto nuestra morada estanque que no cambia; que ha de haber para todos incluso los que pasan hambre. Y hay gente que pasa hambre. Y hay gente que pasa tanta hambre que bastaría que los que ganamos el sueldo medio en Europa o Estadosunidos o los dos, diéramos algo  menos del 1 % de nuestro paga mensual de ricos relativos (15 € al mes), a los más pobres de esta Tierra, para que, construyendo en las regiones olvidadas y pobres las infraestructuras que menester  tras consideración y estudio fueran; sacaran del hambre y de la postración a poblaciones enteras y a veces olvidadas. No echemos la culpa a los ricos, sino  a nosotros mismos.

La foto muestra a Sylvester Stallone que soñó con ser boxeador y sólo pudo ser estrella de cine -no se logra siempre lo que uno quiere- presentando a su hija en el baile de las empezadoras-trices. Que tenga ella más suerte.

PS: La igualdad no consiste en que todo el mundo sea pobre o en envidiar a los ricos. La igualdad de oportunidades consiste en poder desechar la riqueza por inútil o vana si uno así lo considera y ser feliz por otros medios; o incluso en  elegir la pompa que puede también ser criticada.

Matemática elemental al alcance de los literatos y otra gente de mal vivir y a veces bien pensar : Número de divisores impares consecutivos y pares consecutivos en un factorial.

Definamos que dos o más números impares divisores de un factorial n!, son consecutivos, si no hay ningún divisor par que se intercale entre ellos, aunque disten más de 2 unidades entre sí.
Recordemos que un factorial n! no es más que la multiplicación de todos los números a partir del n quitándoles 1 cada vez, hasta llegar a la multiplicación neutra por 1 (n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1).

El menor par de números impares  que son divisores consecutivos de un factorial n! es :  (25, 27) para n=10, válido hasta n=12  ya que 26 = 2* 13 será divisor de 13! y de todos los fatoriales de enes mayores pero no de 10! ni 11! ni 12!. Los  siguientes son (33, 35) para n = 11, válido hasta n= 17; (75, 77) también para n = 11 y válido para n < 19 (76 =2*2*19 es un divisor de 19! ) , (85, 87) válido desde n = 29 hasta n = 42; (91, 95) para n = 19 hasta n = 22 y muchos más; mientras que el menor triple  es (115, 117, 119) para n = 23, como lo muestran estas 5 factorizaciones :


[115, [5, 1; 23, 1]] [116, [2, 2; 29, 1]] [117, [3, 2; 13, 1]] [118, [2, 1; 59, 1]] [119, [7, 1; 17, 1]] y es válido de n = 23 hasta n = 28 puesto que para n >= 29,  116 será divisor y se intercalará  entre los divisores 115 y 117.

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* Sobre la ecuación Diofántica |a^b - c^d| = k

Casualmente (25, 27) es probablemente la única solución (a, b, c, d, k) = (3, 3, 5, 2, 2), en enteros positivos a, b, c , d superiores a 1, para la ecuación |a^b - c^d| = k, con k = 2: 3^3 - 5^2 = 2. Notemos que  para k=1 se sabe, porque se ha podido demostrar hace poco, que la única solución (a, b, c, d, 1),  es (3, 2, 2, 3, 1): 3^2 - 2^3 = 1. Hay infinidad de soluciones triviales sin interés para k = 0, como por ejemplo : (2, 6, 4, 3, 0) o  (3, 4, 9, 2, 0) o bien (125, 3, 5, 9, 0) puesto que 2^6 = 4^3 ; 3^4 = 9^2 y 125^3 = 5^9.

Todo número impar k = 2n + 1 puede ser escrito de manera obvia como diferencia de dos cuadrados : k = 2n + 1 = (n + 1)^2 - n^2. Y todo número múltiplo de 4: k = rs; r y s distintos y pares ambos, es :  k = rs = ((r+s)/2)^2 - ((|r-s|)/2)^2. No contaremos esas soluciones por triviales.

Para k = 5, obviando la solución trivial, diferencia de dos cuadrados :  3^2 - 2^2 = 5, sólo se conoce esta :
2^5 - 3^3 = 5. Y para k = 3, sólo se ha descubierto hasta ahora esta solución : 2^7 - 5^3 = 3. ¡Pero nadie ha podido hasta ahora demostrar que esas soluciones son las únicas posibles! Y yo tengo el cerebro demasiado incapacitado para poder conseguirlo; pero controlo lo que digo y hago, a pesar de todo. Y no pido. No digo, en el sentido de pedir, ni hago nunca nada que vaya en contra de una ética y moral o de un orden elementales y de sentido común.
Sólo estas 3 soluciones se conocen para k = 4 : 2^3 - 2^2 = 4; 6^2 - 2^5 = 4; 5^3 - 11^2 = 4.

Algunas de las escasas soluciones con cuadrados relativamente altos son para k = 19; k = 26; k= 60 :

55^5 - 22434^2 = 19
2537^2 - 23^5 = 26
76^5 - 50334^2 = 60

Debo decir que no tengo ni idea de si es casual o no el hecho de que todas sean diferencia de potencia cinco y de cuadrado o al revés. Supongo que es una casualidad; pero es una suposición no fundamentada.

Si excluimos también las soluciones a la ecuación |a^b - c^d| = k, en las que b o d sean 2 (los cuadrados no son aceptados), tenemos:

3^3 - 2^3 = 19
2^5 - 2^3 = 24
6^3 - 2^7 = 88

Diferencia de 2 cubos, que uno de ellos no sea un cubo de 2 como para  k= 19 o una potencia de 2,  son :

6^3 - 5^3 = 91
5^3 - 3^3 = 98
7^3 - 6^3 = 127
8^3 - 7^3 = 169
6^3 - 3^3 = 189

Y si  a la ecuación  |a^b - c^d| = k ( |x| significa valor absoluto de x, es decir que |x| = x si x>=0 y |x| = -x si x<0, de tal manera que |x| será siempre positivo) es considerada para a, b, c, d enteros positivos superiores todos a 2, sólo se conocen  hasta k = 100, aparte de las dos anteriores (k = 91 y k = 98), las siguientes soluciones:

13^3 - 3^7 = 10
3^5 - 6^3 = 27
7^3 - 3^5 = 100

Una búsqueda rápida por ordenador, que no sean potencias de 2 en la forma disfrazada de 4^m = 2^2m o 8^m = 2^3m o 9^m = 3^2m o 16^m = 2^4m, o ..., o que no sean cuadrados como lo es todo exponente par, produce estas otras para 100 <  k <= 250 :

3^5 - 5^3 = 118
3^5 - 3^3 = 216
20^3 - 6^5 = 224
15^3 - 5^5 = 250

Hasta k = 1000 hay otros otras 5 soluciones que son diferencias de potencias de 3 y de 5 y no potencias de 2 o cuadrados, para los siguientes valores : k = 381, 757, 769,  917, 928;  3 soluciones diferencia de potencias de 3 y 7 par k = 459, 557 y 856 y una solución diferencia de potencias 5 y 7 que vale la pena escribir aquí, al ser primos a, b, c y d  aunque no k : 5^5 - 3^7 = 938. No hay ninguna solución (a, b, c, d, k) todos ellos  primos si todos son superiores a 2, puesto que  a^b y c^d serían impares y por tanto k sería par, divisible por 2.
4^5 - 3^5 = 781 sería una solución diferencia de quintas potencias; pero 4^5 = 2^10 = 1024 = un kilo binario; es  una potencia de 2 , que excluimos.

********

El siguiente triplete de divisores impares consecutivos de un factorial n! es (243, 245, 247) para un n inferior al anterior, n = 19.

[243, [3, 5]] [244, [2, 2; 61, 1]] [245, [5, 1; 7, 2]] [246, [2, 1; 3, 1; 41, 1]] [247, [13, 1; 19, 1]]

Pero a partir de n! = 41! el divisor par 246 se intercalará entre 245 y 247 dejando al triplete de divisores impares sin existencia; pero hay muchísimos más, como (663, 665, 667) para n = 29 o (729, 735, 741) para n = 19.

El menor cuadriplete de divisores  impares consecutivos de un factorial es : (4641, 4655, 4669, 4675) , divisores de n! = 29!; al que sigue (8073, 8075, 8085, 8091)  de n! = 31!.

El menor quintuplete es (48763, 48807, 48825, 48841, 48875) de divisores impares consecutivos de 34! entre los que no existe ningún divisor par de  34! = 2,9523279903960414084761860964352*10^38 (escrito con la precisión de 32 dígitos de la calculadora de Windows; faltan los 7 últimos)
34! = 34*33*32*....*14*13*12*11! = 7396204080477496714356326400000*11! = 7396204080477496714356326400000*39916800; he tenido que recurrir a este truco para saber cuales son los últimos 7 dígitos del factorial, que la calculadora se negaba a proporcionarme y vemos que son precisamente 7 (5+2) ceros, por lo que los 39 dígitos exactos de 34!  son (factorial de 34 escrito exactamente) : 34!= 295232799039604140847618609643520000000.
Sabemos que cualquier número par entre 48763 y 48875 en el intérvalo del quintuplete tendrá un factor primo mayor que 34 o un factor primo al cuadrado mayor que 17 o uno al cubo mayor que 11. Por ejemplo 48800 = 2^5*5^2*61 = 2*2*2*2*2*5*5*61. Y como sólo hay 5 números impares en todo el intérvalo, lo mismo se aplica a los impares y como ejemplo: 48801 = 3*16267 siendo 2, 3, 5 y 16267 números primos no reducibles por división y 61 y 16267 superiores a 34 como era de esperar.

Hay 8 divisores en 4! = 4*3*2 = 24 que son : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 pero 10!  tiene 270 y 34! tiene 12165120 divisores.
La función "divisors" del lenguaje de programación Pari gp, gratuito pero de calidad, de la universidad de Burdeos, que utilizo; se atasca rápidamente por el alto número de divisores de los factoriales, de manera que no puedo pasar del límite de 34! para calcular los  menores sextupletes, 7-pletes, 8-pletes, ... de divisores impares consecutivos de factoriales. Tendría que escribir yo una función divisora limitada  a los divisores más pequeños que un cierto límite par cada n y por desgracia soy muy mal programador, auto educado, sin los conocimientos elementales de clasificación y conservación de datos, que requiere tal tarea.

He aquí esta sucesión que debiera ser ampliada con más términos:

1,  25,  115,  4641,  48763    (1)

Y su definición:

Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores impares consecutivos sin ningún divisor par entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son: 1, 10, 23, 29, 34
Los valores de n son : 1, 2, 3, 4, 5
No sé si la sucesión tiene infinitos términos o no. Quizás es una sucesión finita.

Nota posterior al 03/11/2012 :

La sucesión (1) no es correcta debido a que utilicé la función "divisors (n!)" del lenguaje de programación Pari gp, que consume memoria del ordenador de forma desproporcionada, cuando se trata de factoriales, lo que me limitaba los resultados a factoriales inferiores a 34!, con un consumo enorme de 10^9 bytes de memoria  RAM.
Esta es la sucesión correcta con 8 términos :

1, 25, 115, 1001, 4429, 7657, 34365, 49375  (4)

Los valores mínimos de s son:  1, 10, 23, 67, 211, 163, 157, 163.

Y si se pide que los divisores impares en cada cadena no estén distantes más de 2 uno del otro, esta es la sucesión adecuada con 12 términos :

1, 25, 115, 1001, 5941, 7657, 49375, 49375, 439085, 1125225, 1125225, 88121145,  (5)

Cada término hasta el 12 multiplica al precedente un promedio de (888121145)^(1/11) = 5,28 veces más o menos, por lo que  el término 12 = término 11 * 78 aproximadamente,está bastante alejado de la media y podría estar indicando que la sucesión es finita y está en sus últimos términos. Pero esto que digo puede ser inexacto, es más intuición matemática que otra cosa. 

Y aquí va el programa, escrito en el lenguaje Pari gp, para hallar el menor número de la cadena mínima para n = 10 :



g=10;forstep(p=3,10000001,2,i=0;v=vector(g);forstep(n=p,p+2*(g-1),2,i++;a=factor(n)[,1]~;b=#(a);v[i]=a[b]);c=vecmax(v);j=0;u=vector(g-1);forstep(o=p+1,p+2*(g-1)-1,2,j++;d=factor(o)[,1]~;e=#(d);u[j]=d[e];f=vecmin(u);if(f>c,print([o-2*g+3,c,f]))))

Y este que sigue era el programa, también en Pari gp, para hallar la cadena mínima para n = 4, que no era la mínima, puesto que el programa no podía pasar de s! = 34!; al trabajar con todos los divisores de un factorial y requerir demasiada memoria y la solución mínima : 1001 es para s = 67.


for(n=4,29,a=n!;c=divisors(a);for(i=2,#c-1,s=c[i];r=a/s;if(s%2==1&c[i+1]%2==1&c[i+2]%2==1&c[i+3]%2==1,print([n,s,c[i+1],c[i+2],c[i+3],i]));if(r<s,next(2))))

En efecto, no es necesario conocer todos los divisores de los factoriales para hallar los términos de estas sucesiones. Basta prácticamente con conocer el mayor divisor primo de una cadena de números impares y que este sea inferior a cualquiera de los divisores primos mayores de cada número par existente entre los impares en cuestión.

*El panorama para los divisores pares consecutivos de factoriales es altamente desproporcionado en relación al de sus colegas impares.*

Para empezar ya tenemos 5 divisores pares consecutivos, sin ningún divisor impar entre ellos, en 4! = 24 :
(4, 6, 8, 12, 24).

6 divisores pares consecutivos en 5! = 120 :
 (20, 24, 30, 40, 60, 120)

7 divisores pares consecutivos en 6! = 720 :
(16, 18, 20, 24, 30, 36, 40)

16 divisores pares consecutivos  sin ningún impar intercalado en 8! = 40320
(112, 120, 126, 128, 140, 144, 160, 168, 180, 192, 210, 224, 240, 252, 280, 288)

17 consecutivos de 3520 a 4400  para 12!

18 , de 9072 a 10368 para 13!

22, de 52416 a 57600 para 14!

Sea esta sucesión :

2, 4, 4, 4, 4, 16, 16, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 3250, 9072, 10560, 10560, 27216, 52416, 112000, 112000, 112000, 112000, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 190800, 784000, 784000,...         (2)

Cuya definición es :

Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores pares consecutivos sin ningún divisor impar entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son : 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 13, 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16,...

Los valores de n empiezan en 1 y se incrementan uno a uno.

Y si se requiere que cada cadena esté compuesta de números pares que disten uno de otro no más de 2 unidades, entonces la sucesión es esta:

2, 4, 4, 66, 304, 680, 1054, 1558, 15904, 41638, 82800, 241898, 241898, 241898, 241898     (6)

Para valores mínimos de s: 2, 4, 4, 17, 31, 43, 59, 157, 379, 631, 2179, 2479, 2479, 2479, 2479
Y valores máximos de s respectivos: 2, 4, 4, 23 - 1, 61 - 1, 53 - 1, 71 - 1, 223 - 1 , 1061 - 1, 661 - 1,  2671 - 1, 4937 - 1, 4937 - 1, 4937 - 1,  4937 - 1

Por ejemplo: 66, 68, 70, 72 es la menor cadena de 4 números pares; distanciados uno del otro no más de dos unidades y divisores de factoriales s! de s = 17 a s = 22; sin ningún divisor impar entre ellos. La siguiente para n = 4 es : 108, 110, 112, 114 de s = 19 a s = 36. Pero la sucesión sólo indica el menor término de la menor n-cadena existente para cada n.

Comparando con la misma sucesión para los impares, sucesiones (5) y (6); y para el mismo n= 4; el menor impar es 1001 : 1001, 1003, 1005, 1007; unas 15 veces superior a 66; para n= 10, el impar es unas 27 veces el valor del par; lo cual muestra que los números pares dominan el mundo de los números, no sólo en lo concerniente a los divisores de factoriales. Los múltiplos de 2 ganan la partida a los impares.



La consecutividad de los números pares divisores de factoriales es abrumadora, empacha y llena a rebosar la pantalla del ordenador para factoriales a partir de 19 o 20 y se debe a que el 2 es el factor primo más abundante en un factorial.
Sea enti(n/a) una función que nos de el número entero inferior, sin los decimales, del cociente n/a; equivalente al estadounidense floor (ents(n/a) sería equivalente al estadounidense ceiling).
 El número de factores de un mismo número primo p, de un factorial n! es:
enti(n/p) + enti(n/p^2) + enti(n/p^3) + ...

Así 2 divide 34! : enti(34/2) + enti(34/4) + enti(34/8) + enti(34/16) + enti(34/32) = 17 + 8 + 4 + 2 + 1 = 32 veces; mientras que 3 divide a 34! :  enti(34/3) + enti(34/9) + enti(34/27) = 11 + 3 + 1 = 15 veces
pero 13 y 17 sólo lo dividen 2 veces y 19, 23, 29 y 31 sólo una vez:

 34! = 2^32*3^15*5^7*7^4*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31

Como 10 = 2*5 y el 2 divide a un factorial más veces que el 5, basta con calcular las veces que 5 divide a n! para saber el número de ceros que tiene al final: 7 en el caso de 34! y para el caso de 100 : enti(100/5)  + enti(100/25) = 20 + 4 = 24.

Aprovechando que Pari gp da el valor exacto de los grandes números :


100!  =

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Para saber su número de dígitos sin tener que contarlos basta con hacer : logaritmo-decimal (100!) = log(100!) = 157,97 ---> número-de-dígitos(100!) = entero-superior(log(100!)) = ents( log(100!)) = 158 dígitos.
 Y ya que estamos en ello, si quisiéramos calcular el número de ceros finales de 1000!, estos serían : 200 + 40 + 8 + 1 = 249 de un total de ents(log(1000!)) = 2568 dígitos.
 Y notemos también que el cociente número-dígitos(n!) / n es creciente cuando n crece, valía 1,58 para n = 100 y 2,568 para n = 1000. El número de dígitos de n! crece más rápido que el crecimiento lineal o proporcional simple.


Consideremos por último esta sucesión :

1, 4, 49, 217, 637, 216580, 285333125       (3)

cuya definición bien podría ser :


Menor número iniciando  la menor sucesión de n divisores no múltiplos de 3, consecutivos sin ningún divisor múltiplo de 3 entre ellos, de algún factorial s!

Los valores mínimos de s son respectivamente : 1, 5, 14, 31, 29, 31, 34

Los números completos son :

1
4, 5
49, 50, 52
217, 220, 221, 224
637, 638, 640, 644, 646
6 valores de 216580 a 217000
7 valores de 285333125 a 285392464

Los 4 términos tras el primero de la sucesión (3) son en promedio unas 25 veces menores que los mismos de (1) y serían aún menores si se considerara la sucesión de n divisores consecutivos no múltiplos de 5 de algún factorial s! sin ningún divisor múltiplo de 5 (0 mod 5) entre ellos.

Nota : Puede haber alguna inexactitud en  las sucesiones (1), (2) y (3). El propósito de este texto plagado en exceso  de números; lo admito; no era, paradójicamente, el de ser inmaculadamente exacto, sino el de intentar mostrar un método. Vanamente, claro...
No siento yo ningún tipo de fetichismo hacia los números, pero tampoco los desprecio. No hay que despreciarlos. Un número en sí solo poco significa si no expresa alguna relación con algo; permite medir, es decir permite comparar con cautela y sin exceso interpretativo pero *justamente*. Nada más; nada menos.


Nota final:

Este breve compendio numérico no pretende demostrar nada a nadie, ni siquiera ser ameno o divertido. Para entender la matemática, incluso elemental y harto sencilla como esta; hay que sudar de todas formas;  aburridos  y escasos lectores; como el  que escribe esto.

Inspirado en Hofstadter, pensando en el amor anónimo y en las lenguas que repiten con amabilidad y tono bonito, que se pesca desde las edades intermedias; but this margin is too narrow .

Guapa mía
que espía
las tardes
sin alardes
de la cárcel
del estar
y no ser.
Corcel
que libera
la puerta
sin manera;
te hablo
al oído
mi amor
más sentido
a la manera
de un viejo;
como
intermedio
trobador.






PS : Ha habido poco subrealismo (o surrealismo; yo prefiero lo subreal) en estadosunidos, debido a que no paran de pensar en producir más, en crear más, en optimizar cualquier cosa que encuentran, en cómo nunca parar ni estarse quieto, ni dejar que el universo fluya sólo o que la tierra gire sin el compás  de su aliento; innecesaria y constante voluntad de velocidad e intromisión, y si no es comprar, hacer algo siempre, que confunden  con creatividad; pero son muy capaces.  El homenaje a Hofstadter y otros hombres y mujeres honestos, es sincero y crítico; todo está en el breve título; para qué sirven los volúmenes gruesos, ya no simples ni incisivos, ni determinantes por exceso, de 700 páginas, ruido entre el ruido; yo también soy un amante de las lenguas y de un rigor metalingüe; lo corto es bello.

En francés, de deporte, de clasificaciones, de geografías nacionales y de nacionalismos a veces muy baratos, otras no.

La raison du plus nombreux ne doit pas être la meilleure : les Chinois qui surgissent à jeun et raflent toutes les médailles aux jeux olympiques ne sont que l´illusion du nombre excessif dont il faudra poutant se méfier dès à présent; nous l´allons montrer tout à l´heure.

 Les étatsuniens, si nous analysons hors surface, ne sont pas si bien placés que ça, tous comptes faits: à un niveau Européen sans plus, battus par la Corée du Sud et même par le Japon s´il n´avaient pas la réserve et le potentiel noir, qui leur apporte une grande partie de leurs médailles.

 Pour échapper à la tyrannie de l´or, puisque le Comité Olympique International établit une classification des pays médaillés aux Jeux Olympiques qui permet, par exemple, qu´un pays qui n´a que 2 médailles d´or soit mieux classifié qu´ un pays qui en a 15 en argent ou bronze, mais 1 seule en or; on multipliera le nombre de médailles d´or par 3 qu´on ajoutera au nombre de médailles d´argent multiplié par 2, qu´on ajoutera au nombre de médailles de bronze. Et le nombre obtenu sera divisé par le nombre d´habitants du pays, en millions, et multiplié par cent.

 Voici le classement obtenu après que l´on eut considéré qu´il fallait au moins 10 médailles en tout genre pour y entrer , évitant ainsi qu´une ville-état de 100000 habitants, par exemple, avec une seule médaille d´or, ne soit premiére au classement général avec une densité pondérée de médailles pour 100 millions d´habitants, de 3000, alors que la densité du premier classifié, par 100 millions d´habitants, la Jamaïque, n´est que de 889.
 Le format (a; b; c; d; e; f; g) indique en commençant par a, le nombre de médailles d´or, d´argent, de bronze, le nombre total de médailles, le nombre pondéré de médailles: 3a+2b+c, la population du pays en millions avec une précision de 0,1 million, et le nombre total de médailles,obtenues par ce pays, pour 100 millions d´habitants.


 1)   Jamaïque               889      (4; 4; 4; 12; 24; 2,7; 444)
 2)   Nouvelle Zélande  591      (5; 3; 5; 13; 26; 4,4; 295)
 3)   Hongrie                 370      (8; 4; 5; 17; 37; 10; 170)
 4)   Australie               288      (7; 16; 12; 35; 65; 22,6; 155)
 5)   Biélorussie            253      (3; 5; 5; 13; 24, 9,5; 137)
 6)   Cuba                    239      (5; 3; 6; 14; 27; 11,3; 124)
 7)   Hollande               228      (6; 6; 8; 20; 38; 16,7; 120)
 8)   Grande Bretagne   224      (29; 17; 19; 65; 140; 62,6; 104)
 9)    Répub. Tchèque   200      (4; 3; 3; 10; 21; 10,5; 95)
10)   Azerbaïdjan          174      (2; 2; 6; 10; 16; 9,2; 109)
11)   Kazakhstan          169      (7; 1; 5; 13; 28; 16,6; 78)
12)   Corée du Sud       124      (13; 8; 7; 28; 62; 49,8; 56)
13)   Russie                   109
14)   Allemagne             104
15)   France                  102
16)   Italie                       87
17)   Ukraine                  81
18)   Canada                  72
19)   USA                      72
20)   Espagne                 70
21)   Japón                     52
22)   Kenya                    46
23)   Pologne                  42
24)   Iran                        33
25)   Brésil                      14
26)   Chine                      14


 Nous constatons donc que les Etatsunis sont presque à égalité avec le Canada, mais font moins bien que les Européens; ils ont en fait au niveau presque exact de l´Espagne, pays avec peu d´infrastructures sportives, sauf pour l´obsessif , aliénant et accaparateur ballon-au-pied (foot-ball), mais le ballon-au-panier (basket-ball) commence à être, en Espagne, une mauvaise et aliénante obsession, également.

 Du groupe des 26; avec 10 ou plus de médailles, la Chine est bonne dernière. Mais méfions nous, les chinois sont racistes et fortement grégaires. Losqu´ils envahissent notre Europe, ils vivent en groupes clos, entre eux et n´admettent point les Européens dans leur entourage. Ils mentent et font un apartheid clos d´eux mêmes, autour d´eux. On ne peut accepter qu´un seul pays-continent fasse 1/ 5 de la population totale de la Terre (plus de 4 fois plus que les USA ) et qu´il cherche de plus à se répandre sans limite, ailleurs, chez nous.

 La première place serait mieux occupée, avec bien plus d´équilibre, par la Nouvelle Zélande. La Jamaïque dépent trop de ses deux hommes hyper-rapides sur l´ultra-court, monopolise excessivement l ´athlétisme de courte échelle. Si la vie, ou encore l´amour, n´étaient qu´un cent ou deux-cent mètres, on serait éphémères comme les papillons.

 La Grande Bretagne jouait chez elle et aurait du faire 50 % moins bien , au niveau de la France ou                       l´Allemagne, mais pas plus, comme le témoignent ses résultats, ses retours à la normale de 2008 et 2004. On peut se demander avec une certaine légitimité si les Neozélandais et les Australiens font mieux que nous,       6 fois mieux et 3 fois mieux que la France ou l´Allemagne , respectivement; c´est parce qu´ils marchent la tête en bas. Notons qu´ils pensent probablement de nous la même chose, dont ils attribueront nos mauvais résultats relatifs. Mais le haut et le bas existent-ils; l´Ouest et l´Est ; sommes nous asymétriques par rapport à la gravité , qui elle est dotée de sens et bien d´orientation, par contre ?

Il me plaît de remarquer, également, que la Hongrie ou la Biélorussie sauvent, de leurs bons résultats, notre honneur d´ Européens non-anglois, de non-uniformisés-par-une-seule-mais-non-point-moche-langue, de non impérialistes-qui-protestent (1).

 Et je suis heureux de voir que des petits pays qui semblaient outsiders en première et faible instance, ne le sont point en qualité sportive; qu´ils le soient aussi en qualité plus générale: l´Azerbaïdjan et le Kazakhstan, dont il ne faut ironiser -sauf de nous mêmes; nouveaux venus de futur chaleureux , mais non d´empire unique ; cherchons aussi la possibilité du différent .

(1) : Il s´agit de l´impérialisme protestant, bien sûr, dont nous ne nous sentons point solidaires, pas plus que du communisme ou du socialisme à la continentale européen, par ailleurs.


Si nous voulions réduire encore un peu le poids de l´or par rapport aux autres médailles on pourrait le faire 2 fois plus fort que le bronze et non plus 3 fois. Les grecs avaient découvert les nombres irrationnels, non représentables par une division de nombres entiers, en considérant un triangle rectangle isocèle de côté 1, dont la diagonale doit mesurer racine(2), d´après Pythagore. S´ils avaient voulu bien classifier les pays ou les villes-état participant à leurs jeux olympiques et que l´or ne vaille  que 2 fois le bronze et pas plus et que la différence entre  l´argent et l´or et  le bronze et l´argent soit la même, ils seraient arrivés à la conclusion que le nombre pondéré de médailles doit être de 2a+racine(2)b+c; (a;b;c) = nombre de médailles en or, en argent et en bronze. On peut éviter racine(2), mais au prix de faire l´or  injustement 4 fois plus déterminant que le bronze.

Voici le classement jusqu´à la position 15 de la France avec cette pondération. Et l´on constatera que le classement ne change pas , parce que les variations de la population entre les pays du classement, sont plus importantes que les variations de la distribution du genre des médailles . La Chine continue d´être bonne dernière avec la pondération (2,racine(2),1) avec un nombre pondéré de médailles de 10 pour 100 millions d´habitants contre 11 pour l´avant-dernier Brésil. Et l´ Ukraine devance à peine le Canada, avec la même partie entière de points: 61.


1)   Jamaïque                     654
 2)   Nouvelle Zélande       437
 3)   Hongrie                      267
 4)   Australie                     215
 5)   Biélorussie                  190
 6)   Cuba                          179
 7)   Hollande                     171
 8)   Grande Bretagne         161
 9)    Répub. Tchèque         145
10)   Azerbaïdjan                139      
11)   Kazakhstan                 123
12)   Corée du Sud               89    
13)   Russie                          82                
14)   Allemagne                    77          
15)   France                         76

On constate aussi que la Nouvelle Zélande et l´Australie continuent à faire  à peu près 6 fois mieux et 3 fois mieux, respectivement, que la France ou l´Allemagne.


Et le reste ce n´est que du cinéma..      

Polígonos y números enteros

Un problemilla bonito, que no supe resolver en primera instancia en el tiempo asignado de 35 minutos - creo que me ha costado generalizar este problema a mí, que soy  empedernidamente lento y atrofiado ahora; unas 30 horas-  hay que decirlo; de la olimpiada matemática española para preuniversitarios; planteaba lo siguiente :

Hallar cuantos hexágonos existen con ángulos internos iguales y con la  longitud de los lados, números enteros consecutivos del 1 al 6, en algún orden.

Olimpiada matemática 2003.

 La media de las notas de todos los participantes en esas fases *finales* de esas olimpiadas, es frecuentemente de menos del 15/100; lo cual no es de extrañar nada, dado que casi cada problema, sin excepción, necesita de algún truco, de una o varias mañas, fuera de normas, para resolverlo. Y los trucos y las mañas son siempre asunto de fuera de tiempo.

 Esto no quita, que entre los asistentes, con tal pésimas puntuaciones, se puedan encontrar grandes talentos.

 El truco, porque hay siempre un pequeño truco -e incluso grande- para poder resolver fácilmente un problema complicado, consiste en inscribir el hexágono en un triángulo equilátero. Y en utilizar  la propriedad casi tautológica, pero es la que permite resolver el problema, de que los 3 lados de un triángulo con ángulos iguales, de 60 grados, son iguales.


La suma de las longitudes de los 6 lados es: a+b+c+d+e+f = 21,  y el triángulo equilátero en el que está inscrito el hexágono, es de longitud de lado l = a+b+c = c+d+e = e+f+a por lo que l  = 7 + (a+c+e) / 3

1) :   a+c+e = 6
                 l = 9,  [a,c,e] = [1,2,3] en algún orden, el hexágono es, en el sentido contrario al de las agujas del reloj : (1,6,2,4,3,5).

2) :  a+c+e =  9
                l = 10,  [a,c,e] = [1,3,5] --->  hexágono  (1,6,3,2,5,4).
Se descartan [1,2,6] porque 10-(2+6) = 2   y  [2,3,4] porque 10-(3+4) = 3  y los lados de tal longitud serían repetidos.

3) : a+c+e = 12
               l = 11,  [a,c,e] = [2,4,6] ---> es el mismo hexágono anterior.

4) : a+c+e = 15
               l = 12,  [a,c,e] = [4,5,6] ---> es el mismo hexágono que para l = 9

Atención a la momenclatura que puede engañar : el hexágono (4,3,5,1,6,2) es el (1,6,2,4,3,5)


Es relativamente fácil generalizar a cualquier progresión aritmética de primer término t cualquiera y de razón d cualquiera.
La longitud de los lados de esos hexágonos será, de t + ad, con los valores de a siguientes, considerados en el sentido contrario al de las agujas del reloj :
0, 5, 1, 3, 2, 4
o bien, la segunda solución primitiva :
0, 5, 2, 1, 4, 3

Para cada elección de t y de d hay dos hexágonos posibles.

Por ejemplo para t = 1 y d = 1, obtenemos los dos resultados anteriores.

Para t=2 y d= 1 --->hexágonos  (2, 7, 3, 5, 4, 6)   y   (2, 7, 4, 3, 6, 5)

Para t = 5 y d = 6 ---> (5, 35, 11, 23, 17, 29)    y ...

Para t = 7 y d = 30 ---> (7, 157, 67, 37, 127, 97)   es el hexágono más pequeño de los infinitos hexágonos de ángulos internos iguales y con los seis lados de longitud igual a un número primo.

Las áreas de cada una de esas dos soluciones son de raíz(3)*(6t^2+29d^2+30dt) / 4 para la solución 0,5,2,1,4,3 y de raíz(3)*d^2 / 2 más, para la otra solución.

Se representan en el dibujo de abajo, algunos de esos hexágonos.

  La siguiente tarea consiste , naturalmente, en intentar extender el método a polígonos de ángulos internos iguales de n lados cualesquiera. Cuando n es par, bastaría con inscribir el polígono, en otro de n / 2 lados; un decágono en un pentágono, por ejemplo, o un octógono en un cuadrado. Pero los triángulos en cada esquina de la figura de n / 2 lados  no serían equiláteros sino isósceles con 2 ángulos iguales de 2 pi / n y n > 6. Y sabemos que para un ángulo racional 2 pi* (m / n), su coseno sólo es racional si n = 6, un ángulo de pi  / 3 radianes = 60 grados o sus múltiplos; cos (pi / 3) =  1 /  2. Por lo que los lados más largos de esos triángulos, cuando n >6, no serían enteros , aunque sus lados más cortos e iguales lo fueran. Y el método utilizado aquí no es extensible, pues, a polígonos de número par de lados si n > 6.

A pesar de haber buscado en Google, no hay trazas de información sobre la generalización de este problema a polígonos de n lados cualesquiera. Supongo, porque conjeturar es palabra demasiado fuerte y pomposa para un amateur con muy escasos conocimientos matemáticos, como yo; que el hexágono es una excepción entre los polígonos. Pero no veo ningún método para demostrar que existen o que no existen soluciones en lados enteros para polígonos de lado n cualquiera y de ángulos iguales.

Sólo he encontrado los pentágonos de Robbins, extensibles bajo condición a hexágonos, que son cíclicos, inscritos en círculos y de lados enteros, pero de ángulos desiguales. Y los "golygons" de Gardner y otros que parecen ser polígonos de número de lados variable y de ángulo igual a 90 grados, pero cóncavos y no convexos, como en el caso que nos ocupa.

http://oeis.org/A215010