lunes, 21 de abril de 2014

Peor que gazapos, mal periodismo (II)


En el editorial del diario El País del 21 / 04 / 2014 se puede leer que la culpa de todo por acontecer en Ucrania y en los alrededores es de un hombre y sólo de un hombre, Putin.

""....desafíen abiertamente a las autoridades provisionales de Kiev, a quienes descalifican como ilegítimas. La razón principal para el recelo se llama Vladímir Putin"".

http://elpais.com/elpais/2014/04/19/opinion/1397937928_780961.html


Mal periodismo es el que busca la culpa en un hombre sólo y no en el conjunto de la historia o en el de la socioeconomía, o en el de la geopolítica, o en la costumbre incluso;  pero se calla además siempre, cuando en su propia casa, no dice jamás que la culpa de la posible destrucción egoísta de España -del fin de España, de su implosión en pedazos cortos e insolidarios, con la nariz de cada uno de ellos pegada al vil e inmediato, pero también engañador dinero- es de  Arturo Mas, traidor en casa propia sin que los cobardes - perdidos pero cómodos - socialistas le alcen la voz siquiera, osen decirle nada.


Un periodismo desde hace mucho tiempo sin agallas, pero además carente de profundidad, como la televisión tan pobre e insulsa y decadente ya; la predicción fatal, suicida, hecha realidad por gran desgracia; del segundón del desnudo psoe, Alfonsín Guerra, de que este país no lo iba a reconocer ni la madre que lo había parido, después del paso de ellos, socialistas, que como Atila no dejan nada verde o vivo o nuevo, que crezca, fertilice tras su estancia.


Mal periodismo es aquél que en estos días viene, de una manera casi esquizofrénica, llamando a los pro rusos ucranios separatistas, cuando son en verdad unionistas, quieren unirse a Rusia, quieren 
la unión. Si no fuera dislexia grave -a mí también me ocurre a veces, pero acabo dándome cuenta y corrijo el  error grave; la inversión; (los malos periodistas no lo hacen)- yo diría que los de El País le están allanando el camino al destructor de Europa, no sólo de la España que pudo ser feliz y junta y democrática; que casi lo alcanzó; por la reacción en cadena que va a provocar entre los excéntricos aunque pequeños, su vil órdago;  Mas.



En los tiempos de la Unión Soviética, los que hemos sido comunistas -engañados por los horribles aunque irresistibles cantos de sirena de una revolución que una mañana milagrosa nos salvaría sin remedio a todos, incluyendo  a los que no quisieran; dictadura revolución, mantenimiento en el mismo punto después de 360 grados recorridos, cambiarlo todo para que nada cambie, pero el poder cambiado; sí; dado al grupúsculo que apretaba el gatillo sin moderación- no criticábamos nunca o muy poco a Kruchov o a Brezhnev porque pensábamos que ello iba a dar alas al demonio del capitalismo salvaje y sin freno;  porque los buenos éramos justamente nosotros solos. Sólo nosotros, con nuestra teología socialista equivocada. Falsa. Dictatorial. Pero, nos gustaba, además, Rusia, de verdad. Los equivocados socialistas de El País están mostrando ahora que no querían en realidad a Rusia, que sólo amaban de la Union Soviética su dictadura comunista, pero no a su gran país, pero no a su  pueblo.


Hay que defender a una Rusia grande porque no se puede dejar sólos a China y a Estados Unidos.
Cuando ello sea preciso defenderemos también a Estados Unidos cuyo capitalismo es a veces desbocado, sí, pero es mejor sistema que las economías mal dirigidas, mal intervenidas, ineficientes. Que empobrecen mucho más que otra cosa; repartir pobreza no es repartir nada. Tres grandes potencias es mejor, mucho más democrático que sólo dos grandes regiones. Si dejamos que a Rusia la partan en pedazos, desde  los cánceres  malignos como el de Ucrania, que se extienden después a otra regiones; como  nos están amenazando a nosotros también los catalanes -una amenaza muy real; Mas ha destruído a ETA, mostrando que la independencia se podía casi conseguir (no le dejaremos de ninguna forma conseguirlo nunca) sin ningún asesinato-crimen; pero a la vez (de una manera explicable sólo por el método cuántico, echando mano del gato de  Schrödinger que vive y muere a un mismo tiempo), ha legitimado a ETA y a los crímenes de ETA, que contínua por su cuenta y riesgo; deberá responder por ello, no es inocente, pues no parece que está loco ¿Está loco Mas?- si dejamos que a Rusia la partan en vil pedazos, aceptamos que la misma triste y mala suerte sea la nuestra un día.

Esas regiones pequeñas  viven sólo por y para el dinero sin repartir; para ellos solos;  echan mano de sus curas para tal empresa -como la  Vasquia recurrente e insaciable aquí mismo; que no son europeas ni europeístas, que mienten cuando eso afirman, como lo demuestra el hecho de que aceptaron de inmediato, los ucranios, el dinero fácil del moreno aprovechado, del exaltado que nació en Hawai; que se intromete demasiado en los asuntos Europeos y también Rusos.
 ¿ Qué diría Estados Unidos, si Tejas de independizara, como lo ha hecho tristemente Ucrania, y los Rusos o los Chinos o nosotros los Españoles junto  a los Mejicanos reclamáramos que nos devolvieran la parte que nos quitaron, fuéramos allá a entregarles dinero y apoyo a los secesionistas; con la amenaza, de que California, Luisiana, Florida, Georgia y Colorado pudieran seguir los mismos pasos que los amigos Tejanos, cercanos porque son del Sur; bien lo entendemos; pero sería entonces el fin de Estados Unidos.   No deseamos que ello ocurra. Ni que tampoco conquisten, estos países continentes no enemigos (China no puede ser amigo tal como se comportan hasta ahora), más territorios, imperialicen en exceso. 

Los nacionalismos excéntricos son insaciables, carecen de un elemental sentido de la medida. Piden contínuamente más y más. Y por ello son peligrosos, generan terrorismo; lo volverán a generar sin duda alguna si no se calman o les calmamos o ambas cosas ya; terrorismo que yo apoyé indirectamente, votando a su rama política durante largos años, sin criticar yo nunca ni condenar jamás a ETA en ningún momento, equivocado y engañado; mucho más engañado y equivocado por la quimera falsa y mentirosa de la revolución que por la de la independencia corta. Hay que recordarles a los lectores de fuera que el mundo de ETA llegó a ser muy poderoso con un 17 % de los votos en todo el país vasco (Vasquia), por una razón extremadamente sencilla. Sus progenitores, las dos tetas de las que mamaba ETA eran el partido socialista por un lado y el partido nacionalista vasco por el otro; socialismo y diferencia identitaria juntándose; partidos que aún persisten como los dos partidos más fuertes en Vasquia, además del excrecente Bildu. Bildu sobra por completo desde ya, habría que ilegalizarlos por el bien de España y por el bien futuro de un  posible PNV sin locura, cauto y convivial. Los franceses, que nos quitaron hace tiempo el Rosellón, (a nosotros y a los catalanes a la vez), terminaron prohibiendo el uso del catalán lengua en los documentos oficiales y en las transacciones comerciales. Nosotros, más democráticos; o quizás demasiado ingenuos -¿verdad Mas?- hemos apoyado el uso de las lenguas vernáculas, de los particularismos  y culturalismos regionales. Que Mas no nos obligue a cambiar de opinión.  Estamos en la encrucijada ahora. Si no abandona Mas su empresa loca, actuaremos involucionando. No debiera de ser necesario, pero hay que ilegalizar ya a Esquerra Republicana en cataluña. No caben, en Europa ni en el Mundo entero los que desean la implosión de los demás. Que les sean aplicadas las desgracias destructivas que desean a la España generosa y democrática, mucho más generosa que Francia;  a ellos mismos. En vez de partir a España  y más tarde a Francia y después a Italia y a Alemania y al RU en pedazos, que se partan y se atomicen ellos mismos primero.  Hemos tratado a vascos y a catalanes con excelsa generosidad, con pinzas de oro, pero los catalanes -y los vascos están esperando su turno de robarnos, su turno de buitres en el festín que hay que evitar, actuando con mucha fuerza desde ahora mismo- locos de egoísmo, ebrios de codicia, han marcado el final de los días de vino y de rosas, de la gratuidad total. 


Por de pronto, han  provocado que nos despertemos. El psoe, sin embargo, está sumido en una decadencia profunda, liderado por un incapaz, que le gusta su situación de perdedor segundario mantenedor de status por inercia; con la incorporación de mujeres que sólo saben repetir sin fin la letanía teológica y falsa y mentirosa de la bondad del socialismo para con los pobres o desfavorecidos -siempre se es el pobre de alguien, no obstante; nos están reinventando la pobreza sin cesar (que sí existe no obstante; yo mismo soy pobre sin posesión de ningún coche, ni casa propia, ni vacaciones nunca, apenas tengo para comer; y me han quitado la subvención económica mensual, desde hace 12 meses ya, que me otorgaba el partido nacionalista vasco -no los socialistas falsos). 


Ante la disyuntiva de secesión definitiva que plantean los catalanes, no hay que dar más, como el payaso Rubalcaba admite, ni cambiar ninguna Constitución. Al contrario, hay que empezar a dar la marcha atrás, quitarles prerrogativas; si no corrigen rumbo de inmediato catalanes y vascos.  Si los socialistas y el diario El País son incapaces de defender a España, que al menos sea Putin, muy  a pesar de los editorialistas del mal periódico, quien, indirectamente, protegiendo legítimamente y acertadamente a Rusia, nos defienda de la insolidaria, terrible y triste implosión, retorno  a la Edad Media, reacción en cadena de partición de naciones, que están intentando provocar en España y después en  Europa y más tarde en todo el Mundo.


PS: No he sido yo quien ha apoyado jamás a Mas, a quien ni siquiera conocía yo. Sí lo apoyaba, no obstante, la que me mal acompañaba, venida del norte anglosajón expresamente para ello, profesional del robo y del engaño, que  ahora está  intentando ,-impunemente aún, por gran desgracia- partir a España en pedazos cortos y tristemente  insolidarios, desde el renovado brazo político de ETA, Bildu/Sortu/HB; que hay que ilegalizar.








Añadido el 22 / 04 / 2014 : Los satélites de júpiter, 65 (o 67) hasta ahora, algunos de los cuales son rocas de poco más de 1 km de diámetro y algunos no decubiertos hasta el año 2003 dependen de Júpiter que depende del Sol, que a su vez depende de las estrellas del centro de la galaxia que a su vez se mueve, la Vïa Láctea, en torno a otras cuyos cúmulos  a su vez  se mueven por una fuerza que depende en principio del principio, de cómo empezó todo. Sólo vascos y catalanes pueden ser tan vanos y a la vez tan peligrosos para todos los demás, como para pensar que ellos se libran, que van por libre y sin ningún coste para ellos y a la vez sin ninguna responsabilidad ni solidaridad ni dependencia.

En este excelente fotografía, no sé cuales son los satélites que aprecen transitando Júpiter. Lo vamos a determinar en un momento.

Io tiene un radio Rl de 1.815 km y está a dj = 422.000 km de Júpiter. No sé si es la distancia al centro o a la superficie de Júpiter, pero no importa demasiado.
Europa : Rl = 1.560 km dj =  671.000 km
Ganimedes : Rl = 2.630 km dj = 1.070.000 km Ganimedes es más grande que el planeta Mercurio.
Calisto : Rl = 2.400 km dj = 1.880.000 km
Júpiter : R = 71.500 km y una distancia al Sol media de ds = 778.000.000 km. Esta epuede ser considerada muy grosso modo la distancia media de Júpiter a la Tierra para los efectos del cálculo; más o menos la distancia Tierra Sol de 1,5* 10^8 km o sea más o menos 1,5 / 7,78 = 19 %.

El diámetro medio de Júpiter visto desde la Tierra es de arc tg (2* 7,15*10^4 / 7,78*10^8) = 1,05*10^-2 grados.


El diámetro de Io visto desde la Tierra es de arc tg (2*1815 / (7.78*10^8 - 4,22*10^5)) 
= 2,67*10^-4 grados.

Los diámetros de Europa Ganímedes y Calisto son por cálculos similares, de respectivamente
2,30*10^-4    3,88*10^-4  y  3,54*10^-4 grados.

Ganímedes, el más grande, tiene un diámetro  aproximadamente 1,05*10^-2 /  3,88*10^-4 = 
27 veces más pequeño que Júpiter. Midiendo con una simple regla graduada en la foto, obtengo  34, valor cercano al límite superior del error de  27*(1/(1-0,19)) = 27*1,23 = 33,3, que  muestra que Júpiter estaba, cuando tomaron la fotografía, en su punto más cercano a la Tierra ; 1,5 * 10^6 km más cerca que la distancia media tomada en estos cálculos. Pero no importa demasiado porque vamos a calcular los diámetros relativos entre los satélites Galileanos en cuestión; que ya sabemos que los dos satélites de la foto no pueden sino ser dos de los 4 que que hemos mencionado, porque los demás son mucho más pequeños.

Las relaciones entre los diámetros de las lunas, que hemos calculado, son :

D Ganímedes / D Calisto = 1,10
D Io / D Europa = 1,16
D Ganímedes / D Io = 1,45
D Calisto / D Io = 1,33

Con una simple regla graduada  barata, de un precio de un Euro; yo mido en la misma  pantalla de  mi ordenador que los dos satélites tienen un diámetro -en mi pantalla- de 3,9 y de 3 millímetros respectivamente. Pero 3,9 / 3 = 1,3.

Se trata probablemente de Calisto y de Io, aunque no se puede descartar que fueran Ganímedes y Io, cuya relación de diámetros es apenas un 9 % mayor.



Nota al 23 / 04 / 2014 : 
He supuesto, quizás ingenuamente -soy un mero amateur con escasísimos conocimientos astronómicos, y sin telescopio- que la foto era verídica, tomada desde algun observatorio astronómico o desde el telescopio espacial Hubble y no un fotomontaje. Me extraña la gran nitidez de la imagen comparada con otras encontradas y vistas también en Internet.


jueves, 17 de abril de 2014

Peor que gazapos, mal periodismo.

  En el diario El Pais del 16/04/2014 un artículo de Emilio de Benito intitulado

""El misterio de los cerezos ‘espaciales’""

http://sociedad.elpais.com/sociedad/2014/04/16/actualidad/1397656534_912417.html

 nos cuenta que el astronauta japonés Koichi Wakata llevó a la estación espacial internacional ISS , durante varios meses, unas semillas de un cerezo, árbol sagrado japonés, del templo de Gizu. Después se plantaron y los cerezos florecen, según el periodista-y-sus-fuentes, mucho antes. Y añade esto, que no depende de la fuente, se supone :

""Y, además, sus flores no son las típicas de estos árboles, con una treintena de pétalos. En salto atrás en su evolución, solo tienen cinco. ""

Uno se pregunta, sin entenderlo bien, porqué el tener 30 / 5 = 6 veces menos pétalos sería un salto atrás en la evolución. O visto  de otra forma. ¿ Seríamos más dotados o evolucionados nosotros, si tuviéramos treinta dedos en vez de cinco, en cada mano ?

Pero no es sólo eso lo que desentona. Basta con Googlear en Español ""cerezos japoneses"" y mirar en las imágenes, para encontrar fotos de flores de cerezos japoneses todas con cinco pétalos. Me bastó elegir al azar consecutivamente dos fotografías  para darme cuenta que la información dada por El País no sólo contenía un razonamiento falso sino además proporcionaba un dato  falso.

Nota:  No tengo nada contra este periodista que no conozco que seguro que puede, si se esfuerza un poco, mejorar la información que proporciona .



domingo, 13 de abril de 2014

Eclipses de satélites naturales



Este  pequeño trabajo es de un amateur con escasos conocimientos de astronomía. Pretende no obstante mostrar que cálculos que no demanden mucha precisión están al alcance de todos aquellos que posean  un mínimo de conocimientos matemáticos.
 Se trata de determinar el tiempo medio que la Luna tarda en recorrer el cono de sombra (umbra) de la tierra y el que  tarda en recorrer el cono invertido de penumbra.

Los puntos S, T y L representan respectivamente  a los centros del Sol, de la Tierra y de la Luna. El punto P es el  vértice del cono de penumbra. El punto Q es la intersección de la perpendicular a la línea SPTL, en L con el límite del cono de penumbra.
b es el ángulo  TPQ.
a es el semi ángulo del cono de sombra total en su vértice.
c es el semi ángulo que recorre la luna en la penumbra , desde el centro de la Tierra.
e es el semi ángulo que recorre la Luna en la sombra total, desde el centro de la Tierra.
Rs , Rt y Rl son los radios del Sol; Tierra y Luna.
Rs = 6,96*10^5 km.
Rt = 6,37*10^3 km.
Rl = 1,74*10^3 km.
ds y dl son las distancia Tierra Sol y Tierra Luna.
ds = 1,5*10^8 km.
dl = 3,8*10^5 km.
L es la distancia entre el centro de la Tierra y el vértice del cono de sombra total (umbra).

Como tg b = Rt / PT = Rs / PS y PT = ds - PS deducimos fácilmente que PS = Rs*ds / (Rt+Rs) = 148.639.600 km  y PT = 1.360.400 km. No es necesario calcular estas distancias.

 b = arc tg ((Rt +Rs) / ds) = 0,268 º.

Como tg a = Rs / (ds + L) = Rt  /  L obtenemos L = Rt*ds / (Rs - Rt) = 1.386.000 km

a = arc tg (Rt / L) = 0,263 º.

LQ = Rt + dl*tg b = 6370 + 1779 = 8149 km.

arc tg (LQ / dl) = 1,23 º es un ángulo pequeño por lo que será igual con buena precisión al ángulo c.

El tiempo de paso por umbra  más penumbra del centro de la Luna será de un máximo aproximado de 27, 3 días* 24 horas* 2* 1,23 º / 360 º = 4,5 horas cuando el centro de la Luna pasa cerca del eje del cono de umbra.

Si se cuenta como principio del eclipse el momento del toque del disco de la Luna con la penumbra y como final del eclipse el momento en que la Luna ha salido por completo de la penumbra opuesta, entonces el ángulo c es con buena aproximación arc tg ((LQ + Rl) /dl) = 1,49 º y el tiempo máximo -cuando el centro de la Luna pasa muy cerca del eje del cono de sombra- de la duración del eclipse así medido será de 27, 3 * 24 * 2 * 1,49 / 360 = 5, 4 horas.

El eclipse total  de Luna del 27 / 07 / 2018 visible en España unas dos horas y pico después de su comienzo cuando la Luna salga por el horizonte Este, durará 6, 2 horas un 15 % más de lo que estos cálculos indican, probablemente porque no he usado la distancia mínima posible Tierra Luna ni el periodo orbital adecuados; soy un néofito en astronomía. El centro de la Luna pasará esa vez a sólo unos 700 km del eje del cono de sombra. Los datos están en Internet. El máximo del eclipse será a las 22 h 22 y su final a la 1 h 29 de la madrugada.

La semi distancia D recorrida por la Luna dentro del cono de sombra total es cercana a D = (L -dl)* tg a = 1.005.500 tg 0,263º = 4600 km. 
Remarquemos la coincidencia "millonaria" de que el centro de la Luna está casi exactamente a un millón de kilómetros del vértice del cono de sombra total.

e = arc tg (D / dl) = 0,69 º. La penumbra tiene una extensión angular ( amplitud perpendicular al eje del cono) del orden de 1,8 veces la sombra total.

El tiempo de paso por la sombra total es de  27,3*24*2*0,69 / 360 = 2,5 horas cuando el centro de la Luna pasa cerca del eje del cono de umbra.  Puede pasar por encima o por debajo y el tiempo será menor.


La relación R umbra / R luna  = 4600 / 1740 = 2,64 es cercana a la que divulga la NASA en sus croquis a escala de los tiempos de paso de la Luna por la umbra y la penumbra  en las diversas eclipses de Luna habidas recientemente.



miércoles, 9 de abril de 2014

¿ Depende la Luna de la Tierra, es acaso autónoma ?


Lo que más sorprende al ver la bandera estadounidense en la Luna es la falta tremenda, terrible, de universalidad de los estadounidenses -que no exclusivamente americanos, puesto que americanos son también desde el sur del río Grande en la frontera Tejas/Méjico, hasta la Patagonia. La luna es de todos -incluyendo a los lunáticos (¿lunátiles ...?) - y no sólo de los Noroesteños Ultramarinos escindidos de inglaterra. Hubiera sido de esperar que si los soviéticos hubieran llegado antes por medios mecánicos al satélite único y natural; es decir hubieran dispuesto de mucho más dinero  del que disponían comúnmente (¿comunistamente?...), la bandera hubiero sido una que representase a la Tierra entera. Y no a una de sus  partes sólo; no han de ser tan desacertadamente y egoístamente nacionalistas los estadounidenses; el ultra nacionalismo sobra, está de Mas...; que me perdone el amigo americano, no hablemos ya del catalán que se ha vuelto loco- que hay también que criticar, no dejar solos... que cometen tonterías, que no piensan con suficiencia y hacen daño al mundo inútilmente.

Pero los soviéticos también hacían nacionalismo exclusivista y corto en sus aventuras espaciales. Y es que ambos se olvidaron de lo esencial; que no puede ser una sola nación, por muy brillante, extensa geográficamente, poderosa militarmente y económicamente que esta sea, la que gana una carrera ciéntifico-tecnológica; que los logros son relativos, reposan sobre los descubrimientos que hicieron  inumerables otros hombres  en otras longitudes, en otros tiempos; los hombros de gigantes sobre los que se encaramaba Newton, para  ver algo más lejos. Lo que me preocupa ahora grandemente son los locos enanos catalanes, amenazando de implosión a Europa y luego al mundo entero, por una cuestión de insolidaridad, egoísmo, pensar sólo en el vil sucio dinero.

 Los catalanes están iniciando una reacción en cadena en que desmembrarán a Francia , Alemania, Italia, Reino Unido en cien pedazos cortos y luego también a Estados Unidos, China y Rusia. En que tendremos por fuerza que hablar / lidiar con Alsacia, Bretaña, Provenza, Bearn, Vasquia, Piamonte, Sicilia, Lombardía, Baviera, Sajonia, País de Gales, California, Tejas e Illinois; independientes reinos ineficaces de Taifás en guerra unos contra otros, pidiendo más dinero cada cual sin cesar. El mundo roto en pedazos, repleto de nuevos egoísmos , de nuevas y cruentas rencillas y de diferencias atificiadas (falsas diferencias) por culpa de la locura, el ansia de dinero fácil sin fin de los catalanes continuadores de la insensatez criminal de ETA.

   Yo ya  boicoteo sus productos en los supermercados. Sólo hay que comprar productos que no sean catalanes. Animo a todos a hacerlo desde ya. El aceite de oliva, compradlo Andaluz o  Navarro o Extremeño. No compreís fuet ni viandas catalanas ni vinos ni cavas, ni pizzas siquiera si son catalanas. No se juega con el crimen ni con las guerras que van a venir por la terrible insolidaridad de los enanos del noroeste de la península española que tanto creen que son más que nosotros. Que probablemente mentirán junto a mi ex compañera, venida expresamente del Norte anglosajón para partirnos a España -impunemente hasta ahora- en mil pedazos; que yo les apoyé en el pasado. No fui yo.





PS: Pueden subsistir no obstante unas autonomías razonables en una España no desmembrada, que defiendan el uso al 50 % de las lenguas vernáculas y del Español -ambas lenguas- pero no más del 50 %. No Mas. Los catalanes están iniciando algo muy, muy, muy feo. Una cadena de acciones / reacciones que serán contraproducentes para todos. Si no fueran lo que son, unos locos engreídos, por muy diabólico, poderoso y manipulador que sea Mas, se darían cuenta y pedirían perdón ya, por el daño hecho a todos.

miércoles, 2 de abril de 2014

Elecciones municipales en Francia y reparto matemático de los concejales según los votos.


En España se utiliza un criterio matemático de tipo proporcional para calcular el reparto de los concejales.
En Francia el sistema es mayoritario con tintes de proporcionalidad  con una segunda vuelta una semana después de la primera si nadie ha obtenido el 50 % en la primera votación. Se adjudica la parte entera de la mitad de los concejales a elegir más uno al que tenga más votos ya sea en la primera o en la segunda vuelta de la votación. Los concejales que quedan  se distribuyen entonces con un criterio de proporcionalidad entre todos los partidos en liza (con más de un 5 % de los votos o 10 % según los casos), incluyendo de nuevo al partido con más votos que ya tiene adjudicada la parte entera de la mitad de los concejales más uno.

Pongamos el caso de Avignon de donde no eran las famosas damas que pintó Picasso,  con mi método que da el mismo resultado.

En la segunda vuelta los 3 partidos que quedaron en liza: A B y C han obtenido 47,47 %; 35,02 %  y 17,51 % respectivamente.

 Avignon con 91.300 habitantes elige a 53 concejales. Notemos que este número es altísimo. Bilbao con  350.000 habitantes sólo elige a 29 concejales. Valencia con 795.000 habitantes a 33, o incluso menos. Barcelona con 1,6 millones de habitantes, 41. Y Madrid con 3,2 millones,  57. Es el síndrome del estado hiper fuerte, pero durmiendo, del funcionario de por vida y en gran número, que lastra la creatividad francesa, el dinamismo de un país y proviene de la guerra civil francesa de 1789 que suelen llamar revolución, pero concibió imperios efímeros y guerras y también cierta brillantez científica y cultural; hay que decirlo; a la vez que se es crítico con el remanente, la radiación burocrática de fondo bien visible aún hoy en día.

Llamenos pe(x/n) a la parte entera del  cociente entre los números enteros x y n.
El ganador A se lleva pe(53/2) +1 = 27 concejales. Los 26 restantes entran en liza entre todos.
26 * 0,4747 = 12,34
26 * 0,3502 =   9,11
26 * 0,1751 =   4,55
 Restemos de 26 la suma de las  tres partes enteras obtenidas : 26 - (12 + 9 + 4) = 1.
12 * 0,34 = 4,08
9 * 0,11 = 0,99
4 * 0,55 = 2,20
 Al mayor de estos tres últimos resutados : 4,08, le otorgamos un +1. Si el resultado de la resta anterior hubiera sido 2 se hubiera otorgado un +1  al segundo mejor resultado : 2,20.
Obtenemos :
 A ---> pe(12,34) +1 = 13 ---> más 27 de antes ---> 40 concejales
 B ---> 9
 C ---> 4

Estos son los resultados oficiales de las elecciones municipales del 30 de marzo del 2014 en Avignon. El sistema es  fuertemente mayoritario, favorece demasiado al que llega primero. El que queda segundo, aunque sea con muy pocos votos menos queda muy penalizado en relación al más votado.
A con 47, 47 % de los votos ha obtenido 40 / 53 = 75 % de los diputados, mientras que B con 35, 02 % de los votos sólo obtiene 9 / 53 = 17 % de los diputados, menos de la mitad de lo que le corresponde.

Yo propondría que se suavizara ese exceso mayoritario, otorgando al ganador sólo el porcentaje que haya obtenido reducido en 1/3.
Sería  así .
 Para A,el más votado --> pe((53*0,4747)/3) = 8 concejales por ser el más votado. Quedan 45 concejales a repartir entre todos, lo que nos da :
21,36   15,76    7,88
45 - (21 + 15 + 7) = 2
21* 0,36 = 7,56
15* 0,76 = 11,4
7 * 0,88 =  6,16
 De los 3 últimos resultados, los dos mayores se llevan cada uno un concejal con el resultado de
A ----> pe(21,36 ) + 1 = 22 ---> más 8 de antes --> 30 concejales; 30 / 53 = 57 % de los concejales.
B ---> pe(15,76) + 1 = 16
C ---> pe(7,88) = 7

Un sistema puramente proporcional daría :

25,16   18,56    9,28
53 - (25 +18 +9) = 1
25* 0,16 = 4
18* 0.56 = 10,08
9* 0,28 = 2,52
El mayor de los últimos tres resultados se lleva el concejal sobrante.
A ---> pe(25,16) = 25 concejales; 25 / 53 = 47 % de los concejales con 48 % de los votos.
B ---> pe (18,56) +1 = 19 concejales; 19 / 53 = 36 % de los concejales con 35 % de los votos.
C ---> pe(9,28) = 9 concejales; 9 / 53 = 17 % de los concejales con 18 % de los votos.


El sisteme de reparto proporcional de Hondt  consiste en dividir el  número de votos de cada candidato
que no dispongo, pero que extrapolados de los porcentajes y de los votos válidos emitidos que son 34919 serían con suficiente  aproximación   A: 16576;  B: 12229;  C: 6111. se han de dividir estos números por 1,2,3,...,n hasta n= el número de concejales del ganador más uno. Se toman los 53 cocientes mayores de cada unos de los candidatos. No tengo la paciencia para ello, ni para escribir un progarmilla de ordenador que lo haga; para comparar los resultados. Pero el método de Hondt primaba bastante a los de más de 30 % de votos y castigaba a los de menos de 15 %. Y sobre todo es injusto en zonas con pocos candidatos, menos de 7 o 8 candidatos en circunscripciones electorales pequeñas como provincias, en España, poco pobladas, o ayuntamientos de ciudades poco habitadas. La solución no está en poner más diputados o más concejales sino en hacer circunscripciones grandes, cuando ello es posible si se quiere más proporcionalidad. Incluso el sistema proporcional más puro, anteriormente descrito aquí , sería distorsionador en circunscripciones con sólo 4 o 5 candidatos.

PS: Si alguien dice que yo dije otra cosa en algún momento. No era yo, desde luego.

viernes, 14 de marzo de 2014

Experimentalismo innecesario inglés.


Galton se pudo haber ahorrado tediosos experimentos con poblaciones de moscas para llegar a la conclusión que el regreso a la media o regresión Galtoniana era la norma. El inglés descubrió experimentalmente que las moscas descendientes de una pareja de moscas más grandes de lo normal eran más pequeñas por lo general que sus progenitores y más grandes que sus progenitores si la pareja que las concibió era más pequeña que la norma.

*Supongamos lo contrario, que las moscas descendientes de parejas anormalmente grandes o pequeñas, se hicieran  2 %  aún más grandes o pequeñas, respectivamente, que sus progenitores. (1)*.

Las moscas tienen una vida media de 20 días y vamos a suponer que se empiezan a reproducir transcurrido un 15 % de su tiempo de vida (25 % en el hombre), es decir a los 3 días de vida.

La fórmula que nos proporciona el número n de nacimientos  sucesivos e iterativos de moscas  con la hipótesis descrita en (1), para que al final existan moscas 10 veces más grandes o 10 veces más pequeñas que la media, es la misma que la del interés bancario compuesto : (1,02)^n = 10  ---> n = log(10) / log (1,02) = 117.

 Bastarían 117 * 3 días = 351 días; es decir un año; para encontrarse con moscas de 10*10 = 100 veces más o menos masa que otras; por ejemplo moscas de 0,002 gramos y moscas de 0,2 gramos de masa-peso. Por supuesto hay que suponer que ese proceso hipotético tuviera muchos fallos, digamos un 95 % de fallos y sólo un 5 % de éxito. Pues aún así  Galton,  en el transcurso de un tiempo de 20 años no vio nunca algunas moscas (no todas) 100 veces más masivas que otras. Supongo que el factor k = masa máxima / masa mínima en una misma familia genética de moscas es de k = 2  o  de k = 3, como en el hombre. Para convencer a los más escépticos, pongamos que la probabilidad de éxito de la hipótesis (1) fuera de sólo      1 / 1000.  Como las moscas existen desde hace más de 1000 años y no vemos diferencias enormes de peso en una misma familia/género de moscas; esto significa que la regresión a la media es la norma en general entre las moscas y entre las especies que existen desde hace más de 50.000 años.

Luego, sin necesidad de experimento alguno, podemos deducir que la regresión a la media es la norma en cualquiera de las  especies vivas. Incluidas las plantas; iba a decir incluidos los ingleses; pero me callaré, me faltan datos...



PS : Puesto que log(1+c) es aproximadamente igual a c cuando c es pequeño, un crecimiento muy inferior al 2 %, digamos 20 veces inferior, del 0,1 %, demandará unos tiempos 20 veces superiores a los estipulados anteriormente, validando de todas formas la generalidad del razonamiento anteriormente aquí expresado: los ingleses experimentan demasiado y sin recato.











miércoles, 26 de febrero de 2014

Más allá de Shakespeare y de la Literatura. Más allá del decir. Cuando los soldados son generales y además profesores.




Entrevista a  Paco de Lucía en Radio Televisión Española :



http://www.rtve.es/alacarta/videos/rito-y-geografia-del-cante/rito-geografia-del-cante-paco-lucia/1898649/
Minuto 28: 21.

Entrevistador preguntándole a Paco de Lucía :



-  ¿Tú sabes música?...

-  Yo no. No. Yo lo que toco lo toco por percepción, por oído.

-  ¿No es necesario?

-  Unos me dicen que sí y otros que no. Yo le he preguntado a grandes músicos si debo aprender música. Me han dicho que no. No es necesario.




Hay soldados que son  generales, que nos enseñan. Hay que salvar a los soldados que por desidia o bien por impotencia de los que les rodean se quedan de repente solos.

















lunes, 13 de enero de 2014

Los números naturales o enteros

Supongamos que existe un número natural (o entero) cualquiera denotado por  a  y definido de la siguiente manera :
 *a = (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) + ... + (a/a - (a-a)) en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente "a" veces* (1). Y en el que se definen a las operaciones suma, resta y cociente entero, denotados respectivamente por  +, - y / como operaciones -intuitivamente, porque estamos intentando previamente definir los números enteros o naturales sin los cuales dichas operaciones carecen de sentido-  respectivamente de ampliación : (+), de reducción : (-) y de repartos sucesivos o restas sucesivas  hasta que el resto no alcance para otro reparto : (/); entonces *a + (a/a -(a-a)) =  (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) + ... + (a/a - (a-a)) en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente "a + (a/a -(a-a))" veces* (2).
 Es lo que Peano llamaba el sucesor de "a" en sus axiomas/definición de los números naturales  y es verdad siempre que (1) sea verdad, habilitando el principio llamado de inducción de los números enteros.

LLamemos y escribamos, representemos  :  *a = (a/a - (a-a)) = 1*, en el que el sumando  (a/a - (a-a)) aparece exactamente (a/a - (a-a)) veces. Llamaremos también *a-a = 0*, para todo "a", con lo que para todo "a"  a/a = 1. Pero pronto se mostrará, que contrariamente a lo que se suele sugerir y decir, *el 0 es prescindible*. Por ejemplo las dos soluciones de la ecuación de segundo grado ax^2 + bx = c son x = (-b +/- raíz(b^2+4ac)) / 2a; las mismas que las de la ecuación ax^2 + bx + c = 0; pero no ha sido necesario, en la primera, utilizar el "0" en la expresión de la ecuación.

Podemos ya representar todos los números naturales por medio del "1" en un sistema de numeración no posicional en que todas las cifras tienen el mismo valor sea cual fuere su posición (7 =1111111, por ejemplo). La suma queda definida de manera que 1 + 1 = 11; 11 + 1 =111; ...; 111 + 11 = 11111;...
El sistema es sencillo pero costoso en trabajo. Escribir cien necesita escribir cien unos.

LLamemos  ahora a = (a/a - (a-a)) + (a/a - (a-a)) = 2  (2 = (2/2 - (2-2)) + (2/2 - (2-2) = 1 + 1 )
2 va a ser la base b, en que definimos la multiplicación general de b por b y la escribimos b^2 como b sumado b-1  veces. Luego b^3 = b por b^2, es decir la suma de b^2  b-1 veces. Y sucesivamente b^n = b por b^(n-1). En general cualqueir número n puede escribirse n = Suma (i=0, k) a(i)b^i donde 0<=a(i)<b, con la convención de que para todo b, b^0 = 1; convención que revalidamos incluso si suprimos los ceros en nuestros sistemas de numeración.

En base 2 (b=2) los números de nuestra base b =10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se escriben respectivamente 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001
Por ejemplo 111 es 7 porque 111 = 1*2^2+ 1*2^1+1*2^0 = 4+2+1.
Si queremos saber cuanto es el 10 decimal en base 2, restamos de 10 las potencias de 2 más altas posibles: 10 = 2^3 + 2^1 = 8 + 2 ---> 10 = 1010 en binario.

****Algoritmo para prescindir de los ceros en cualquier base****

Se sustituye a cada cero significativo por la base b en que nos hallemos (2, en el caso binario) y se resta uno al grupo de cifras situado a la izquierda inmediata de esa sustitución.

Así 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 se escriben en *base 2 sin ceros* :
1,2,11,12,21,22,111,112,121,122,211,212,221,222
(14 es 222 porque 2*2^2 + 2*2^1 + 2^2^0 = 8 + 4 + 2 )

100 en base 2 es 100 = 2^6 + 2^5 + 2^2 = (64 + 32+ 4) = 1100100. Y 100 en *base 2 sin ceros* es, utilizando el algoritmo previamente explicado :  1100100 --->1100012--->1011212--->211212.
Comprobamos que 2*2^5+1*2^4+1*2^3+2*2^2+1^2^1+2*2^0 = 64 + 16 + 8 + 8 + 2+ 2 = 100.


****Números de la forma 10*n (n= 1,2,3,...) en base 10 sin ceros ( en el que el 10 se escribe a)****


a, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, 8a, 9a, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, aa, 11a, 12a,...

Vemos bien que cualquier base se puede escribir sin ceros, con la misma precisión y validez en todas las operaciones. El 0 no es tan determinante como nos contaron, con la excepción del cálculo de b^n, en cualquier base, en las que basta escribir 1 seguido de n ceros (32= 2^5 = 100000 en binario, base 2, 81 = 3^4 = 10000 en base 3) Es además , el 0, la única cifra que es sustituible por su base, en cualquier base, al tener siempre a su izquierda alguna cifra significativa superior o igual a 1, de la que se puede restar 1.







viernes, 3 de enero de 2014

¿ Izquierda ? ¿ Derecha ?



No sé quien dijo que el viejo personalismo español, se está adueñando de la política, como siempre y con tan malos resultados históricos en España y en el mundo en general. El personalismo consiste en que no se habla de ideas sino de posiciones geográficas arbitarrias de hecho: el Oeste, si se mira al Norte (izquierda) y el Este mirando a lo mismo (derecha) sin darse cuenta; los que estrán convencidos; mintiéndose a sí mismos y a los demás a la vez; de que su orilla es la única blanca-buena y   la contraria  la única negra-mala; que ese es un binarismo estéril , pero tenemos 10 cifras distintas -y no sólo 2- para expresar las cantidades y los colores de arcoiris que son más que el todo y sólo blanco, que el todo y sólo negro; que si se mira al Sur, las posiciones se invierten, la izquierda es el Este; la derecha.
Esto lleva a las situaciones bien sabidas en que ambas orillas hacen la misma política casi exactamente cuando llegan al poder; con más torpeza algunos; pero se siguen odiando y denostando, fomentan la pertenencia irreductible a dos colores sólo, propia de  clanes irracionales, irreconciliables, sectarios y al fin y al cabo racistas porque desprecian el color, la diferencia que  los demás ostentan. Negativizan, reducen, esquematizan, mienten y separan y no otra cosa.



Si a tu ventana llama el 2014; trátalo con cariño, que está lleno de propiedades:



(Se añade en algunos casos fáciles, un programita escrito en Pari gp que  muestra esas propiedades)


*2014 es el máximo común divisor entre la suma y el producto de los 45 primeros números primos*

a=1;b=0;for(n=1,45,a=a*prime(n);b=b+prime(n);print1([gcd(a,b),n],,", "))
[2, 1], [1, 2], [10, 3], [1, 4], [14, 5], [1, 6], [2, 7], [77, 8], [10, 9], [3,10], [10, 11], [1, 12], [238, 13], [1, 14], [82, 15], [3, 16], [110, 17], [3, 18], [2, 19], [213, 20], [2, 21], [7, 22], [874, 23], [3, 24], [530, 25], [129, 26], [158, 27], [3, 28], [370, 29], [177, 30], [430, 31], [3, 32], [994, 33], [3,34], [2, 35], [3, 36], [646, 37], [2747, 38], [2914, 39], [21, 40], [3266, 41],[3, 42], [3638, 43], [3, 44], [2014, 45],

Por ejemplo, la suma de los 3 primeros números primos: 2, 3, 5 es 10 y su producto es 30; le máximo común divisor (gcd en inglés) será mcd(10 , 30) = 10.


*2013, 2014 y 2015 tienen el mismo número de divisores : concretamente 8 divisores*

for(n=3,2050,if(numdiv(n-1)==numdiv(n)&numdiv(n+1)==numdiv(n),print1([n,numdiv(n)],", ")))
[34, 4], [86, 4], [94, 4], [142, 4], [202, 4], [214, 4], [218, 4], [231, 8], [243, 6], [244, 6], [302, 4], [375, 8], [394, 4], [446, 4], [604, 6], [634, 4], [664, 8], [698, 4], [903, 8], [922, 4], [1042, 4], [1106, 8], [1138, 4], [1262, 4], [1275, 12], [1310, 8], [1335, 8], [1346, 4], [1402, 4], [1642, 4], [1762, 4], [1833, 8], [1838, 4], [1886, 8], [1894, 4], [1925, 12], [1942, 4], [1982, 4], [2014, 8]
Los 8 divisores de 2014 = 2*19*53 son :  1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.
(2013 = 3*11*61 y 2015 = 5*13*31).


*2014 es un número de la forma C(2n+1, 3) - C(n+1, 3) donde C(a, b) indica el número de combinaciones de a elementos tomados de b en b. Su valor es C(a, b) = a! / ((a-b)! b!) en donde n! = n*(n-1)*(n-2)...3*2*1 se llama el factorial de un número; con n= 12 para lo que C(2n+1, 3) - C(n+1, 3) = C(25, 3) - C(13, 3) = 25! / (22!* 3!) - 13! / (10!* 3!) = 2300 - 286 = 2014*


*Un número triangular T(n) es un número de forma T(n) = n*(n+1) / 2.  2014 es la suma de los 12 números triángulares consecutivos  del 12 al 23 : 2014 =    T(12) + T(13) + T(14)+ ...+T(23) y por lo mismo es la suma de los seis cuadrados impares consecutivos del 13^2 al 23^2, o lo que es lo mismo, es un número de la forma 6n^2 + 72n + 286, que son los números que son suma de seis cuadrados pares o bien impares consecutivos; para el caso n= 12. Como otro ejemplo, para n=1, 6n^2 + 72n + 286 = 364 es la suma de los seis cudrados pares consecutivos del 2^2 al 12^2*


* 2014 es tal que el número de Catalan (pero no de Mas, que sobra), menos uno, es primo. Catalan(n) = (2n)! / (n!(n+1)!). En otras palabras:  Catalan(2014) -1, un numero con 1208 cifras, es primo. Termina en 99*


*2014 es la suma de los 51 primeros números compuestos, es decir números que no son primos, como lo son sucesivamente : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,..., más la mitad de 51 redondeada a entero. El 51-ésimo número compuesto es el 72*


*2014 es el producto de los cuatro primeros números compuestos (4*6*8*9 = 1728 = 12^3 = 9^3 + 10^3 - 1) más la suma de los seis cudrados impares del 1^2 al 11^2 = 286*

*En la recurrencia a(n+1) = a(n)-ésimo compuesto, 2014 se halla en una priveligiada 22-ésima posición : 4, 9, 16, 26, 39, ....,1708, 2014,... (9 es el cuarto compuesto, 16 es el noveno,...,2014 es el 1708-ésimo,...) https://oeis.org/A006508  *



jueves, 20 de junio de 2013

Fast and Silent. And sometimes Slow.


¿ Quién parará la lluvia, la intempestividad ?




Hay que parar la lluvia, las catástrofes naturales aquí y en China o en Estados Unidos. Las inundaciones de estos días en el Pirineo español y francés, me llenan de tristeza. Es una zona que conozco y amo, que he recorrido en verano en moto y en invierno, varias veces,de Oeste a Este hasta Cataluña, con el mismo medio de transporte, para esquiar y disfutar de la quietud grande en la montaña. Lourdes se ha inundado y es una ciudad amable, que acoje al visitante, que me gusta; se crea o no en la religión de ahora, se tengan o no creencias religiosas ahora, que falsas o bien, por el contrario ciertas, hay que respetar. Están inundados parcialmente pueblos preciosos en una zona naturalmente preciosa, naturalmente bella. He vivido dos media docenas de años en Orthez en una casa a setenta metros, no más, del "Gave de Pau", desbordado, como otros ríos, ahora. Un día con un amigo - Barlett; que saludo, así como a su padre- que se enroló en la marina francesa en Toulon, que no he vuelto a saber de él, lo cruzamos a nado y estaba muy crecido y desbocado, aunque sin inundación. Llegamos a la otra orilla pero un hectómetro corriente abajo. Amo la geografía humana, la geografía económica, la orografía, la geografía paisagista; conozco sus colores, sé el olor de  esa zona. Los Pirineos y sus cercanías, de ambos lados de la frontera, del lado Español y del  Francés. Incluso en el servicio militar obligatorio, me mandaron  a Huesca, el bello Pirineo Aragonés.
 Temo que me achaquen, mis enemigos, estas catástrofes.  Puede haber incluso habido alguna voz -que parece que proviene de mí- que parece que yo haya dicho algo al respecto, pero no soy yo, sino los que controlan mi cerebro alterado largamente bajo tortura.  Hay gente que oye cosas que yo no digo y ni siquiera oigo y ni siquiera pienso. Pero creen que las digo. Y a veces digo cosas que no soy yo el que las dice sino los que controlan mi cerebro. No me daba cuenta antes de ello. Ahora, me están despertando y lo sé y me doy cuenta aunque aún no estoy libre de mis controladores. Pero sigo sin saber nada del pasado ni del presente, de sus reglas y usos: me han hecho olvidarlo todo. No sé nada: ni siquiera lo elemental. Estoy viviendo en un sitio, que claramente, no es para mí. En el pasado, en estos recorridos por los Pirineos; me avisaron; de algo que yo no entendí. En un bar en Bagnères de Luchon, una chica valiente;delante de mi mala compañera de viaje, Verónica; que no ayudó nunca a nada. Todo lo contrario. En Barèges, un inglés quería claramente hablarme.Pero ella no me había avisado, no me dijo nada. Por el lado Español, también ahora inundado, también me avisaron una vez, pero lo medio entendí apenas. Cuando alguien me habla puedo no oír nada o casi nada y no entender nada o casi nada de lo que me dicen. Y además olvidar de inmediato, en un instante lo que me han dicho. Mi mente cambia a otro estado, que yo no controlo. Pero yo soy una persona buena y amable, que intenta siempre ser buena y amable, que no desea, no ha deseado y no deseará el mal a nadie. Sólo deseará que la injusticias no continúen; que los inocentes no paguen por los culpables. ¡Que paren la lluvia y las catástrofes naturales ya! Aquí, en las zonas que amo y que conozco. Y allá también, en lo que desconozco. Gracias y a harmonizar.





domingo, 16 de junio de 2013

Programa Criba

b=6;q=37;c=6;m18=0.82;k0=0;m100=10^12;k1=121*10^7;i=1;d=matrix(primepi(q),c);forprime(p=2,q,a=b%p;d[i,1]=a;for(j=2,c,d[i,j]=a^2%p;a=a^2%p);i++);for(m1=1,primepi(q),for(m2=1,c-1,for(m3=m2+1,c,if(d[m1,m3]==d[m1,m2],d[m1,m3]=0))));e=matrix(primepi(q),c);for(m4=1,primepi(q),for(m5=1,c,e[m4,m5]=prime(m4)-d[m4,m5];if(m5==1&d[m4,m5]==0,e[m4,m5]=0);if(m5>1&d[m4,m5]==0,e[m4,m5]=0)));f=matrix(primepi(q),q);for(m6=1,primepi(q),m7=0;for(m8=1,q,f[m6, m8]=m7;m7++);for(m9=1,c,for(m10=2,prime(m6),if(f[m6,m10]==e[m6,m9],f[m6,m10]=q)));m11=0;for(m12=1,prime(m6),if(f[m6,m12]==q,m11++)));g=matrix(primepi(q),q);for(m13=1,primepi(q),g[m13, ]=vecsort(f[m13, ]));h=matrix(primepi(q),q);for(m15=1,primepi(q),m14=0;for(m16=1,prime(m15),if(g[m15, m16]<prime(m15),m14++));m17=m14/prime(m15);if(m17<m18,h[m15, ]=g[m15, ] ));for(m40=1,3,for(m41=1,prime(m40),if(b%prime(m40)==0,h[m40,m41]=m41)));m19=0;m20=vector(primepi(q));for(m21=1,primepi(q),if(h[m21,2]!=0,m19++;m20[m19]=m21));m22=vector(m19);for(m23=1,m19,m22[m23]=m20[m23]);m24=vector(m19-1);for(m25=2,m19,m26=0;while(h[m22[m25],m26+1]<prime(m22[m25]),m26++);m24[m25-1]=m26);u3=vector(m24[1]*m24[2]);i3=1;for(i1=1,m24[1],for(i2=1,m24[2],u3[i3]=lift(chinese(Mod(h[m22[2],i1],prime(m22[2])),Mod(h[m22[3],i2],prime(m22[3]))));i3++));m27=prime(m22[2])*prime(m22[3]);u5=vector(#(u3)*m24[3]);i4=1;for(i5=1,#(u3),for(i6=1,m24[3],u5[i4]=lift(chinese(Mod(u3[i5],m27),Mod(h[m22[4],i6],prime(m22[4]))));i4++));m28=m27*prime(m22[4]);u7=vector(#(u5)*m24[4]);i7=1;for(i8=1,#(u5),for(i9=1,m24[4],u7[i7]=lift(chinese(Mod(u5[i8],m28),Mod(h[m22[5],i9],prime(m22[5]))));i7++));m29=m28*prime(m22[5]);u9=vector(#(u7));i10=1;for(i11=1,#(u7),u9[i10]=lift(chinese(Mod(u7[i11],m29),Mod(h[1,1],2)));i10++);u10=vecsort(u9);m32=m29*2;u11=vector(#(u9)*m24[5]);i13=1;for(i14=1,#(u9),for(i15=1,m24[5],u11[i13]=lift(chinese(Mod(u9[i14],m32),Mod(h[m22[6],i15],prime(m22[6]))));i13++));u12=vecsort(u11);m34=m32*prime(m22 [6]);u13=vector(#(u11)*m24[6]);i17=1;for(i18=1,#(u11),for(i19=1,m24[6],u13[i17]=lift(chinese(Mod(u11[i18],m34),Mod(h[m22[7],i19],prime(m22[7]))));i17++));u14=vecsort(u13);m35=m34*prime(m22[7]);w1=vector(#(u13));for(i16=1,#(u14)-1,w1[i16]=u14[i16+1]-u14[i16]);w1[#(w1)]=m35-u14[#(u14)]+u14[1];m33=#(u14)/m35;if(m19<8,forstep(k=u14[1]+k0-k0%m35,m100,w1,m30=0;for(n=0,c-1,m=b^2^n+k;if(ispseudoprime(m),m30++;if(m30>c-1,print1(k,", ");write(p6,k," ");if(k>k0+k1,break(2)))))),if(m19=8,u15=vector(#(u13)*m24[7]);i21=1;for(i22=1,#(u13),for(i23=1,m24[7],u15[i21]=lift(chinese(Mod(u13[i22],m35),Mod(h[m22[8],i23],prime(m22[8]))));i21++));u16=vecsort(u15);m36=m35*prime(m22[8]);w2=vector(#(u15));for(i20=1,#(u16)-1,w2[i20]=u16[i20+1]-u16[i20]);w2[#(w2)]=m36-u16[#(u16)]+u16[1];m37=#(u16)/m36);forstep(k=u16[1]+k0-k0%m36,m100,w2,m50=0;for(n=0,c-1,m=b^2^n+k;if(ispseudoprime(m),m50++;if(m50>c-1,print1(k,", ");write(p6,k," ");if(k>k0+k1,break(2))))));if(m19>8,u17=vector(#(u15)*m24[8]);i25=1;for(i26=1,#(u15),for(i27=1,m24[8],u17[i25]=lift(chinese(Mod(u15[i26],m36),Mod(h[m22[9],i27],prime(m22[9]))));i25++));u18=vecsort(u17);m38=m36*prime(m22[9]);w3=vector(#(u17));for(i24=1,#(u18)-1,w3[i24]=u18[i24+1]-u18[i24];w3[#(w3)]=m38-u18[#(u18)]+u18[1];m39=#(u18)/m38);forstep(k=u18[1]+k0-k0%m38,m100,w3,m60=0;for(n=0,c-1,m=b^2^n+k;if(ispseudoprime(m),m60++;if(m60>c-1,print1(k,", ");write(p6,k,"  ");if(k>k0+k1,break(2))))))));print();print();print([readvec(p6)[1],#(readvec(p6)),p6]);c1=7;write(p7, );for(i101=1,#(readvec(p6)),for(n1=c1-1,c1-1,m1=b^2^n1+readvec(p6)[i101];if(ispseudoprime(m1),write(p7,readvec(p6)[i101]," "))));if(#(readvec(p7))>0,print();print([readvec(p7)[1],#(readvec(p7)),p7]));system("del p6");c2=8;write(p8, );for(i102=1,#(readvec(p7)),for(n2=c2-1,c2-1,m2=b^2^n2+readvec(p7)[i102];if(ispseudoprime(m2),write(p8,readvec(p7)[i102]," "))));if(#(readvec(p8))>0,print();print([readvec(p8)[1],#(readvec(p8)),p8]));system("del p7");c3=9;write(p9, );for(i103=1,#(readvec(p8)),for(n3=c3-1,c3-1,m3=b^2^n3+readvec(p8)[i103];if(ispseudoprime(m3),write(p9,readvec(p8)[i103]," "))));if(#(readvec(p9))>0,print();print([readvec(p9)[1],#(readvec(p9)),p9]));system("del p8");

miércoles, 8 de mayo de 2013

Algunos números primos pequeños .

La moda está a lo muy grande en el dominio de los números primos y no sólo ahí; los estadounidenses, no sin mérito, encuentran con búsquedas colectivas por ordenador, primos de Mersenne de más de 10 millones de cifras; nosotros seguimos pensando que la calidad vale más que lo mucho y el exceso, "nous l´allons montrer tout à l´heure"...


Sean números de la forma  N =  b^(c^n) + k  (b, c, n enteros positivos mayores que 0, excepto n que puede ser 0; k entero distinto de cero, positivo o negativoy consideremos  para un número k determinado, qué números b producen 3, 4 o 5  números primos "consecutivos"  desde para n = 0, 1, 2 hasta para  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .


Es casi demasiado conocido que para b=2 , c =2 y  k=1, se trata de los números de Fermat. Menos gente sabe que para que sean primos para valores sucesivos de n (5 valores  consecutivos de n, por ejemplo, como en el caso de los números del francés); la condición de partida es que b y k sean de distinta paridad; uno par y el otro impar,  de otra manera N sería divisible por 2, es decir par; pero no tiene porqué ser concretamente b= 2 y  k=1; ni es por otra parte más importante la base "b" exponenciada que el sumando "k". b y k son igualmente determinantes para  la primalidad de N.



1) c = 2 y k = 1

a) Números b tales que  N =  b^(2^n) + 1 es primo para 3 valores sucesivos de n; n= 0, 1 y 2 :

2, 6, 180, 210, 430, 466  hasta  5*10^3. Por ejemplo, los tres primos para b = 6 son 7, 37, 1297


b) Números b tales que  N = b^(2)^n + 1 es primo para 4 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2 y 3 :

2, 19380, 285090, 337536, 448630  hasta 5*10^5.


c) Números b tales que  N = b^(2^n) + 1 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 


2, 337536, 585106, 602056, 2071960, 11861410, 20706120     hasta 5*10^7.

Los números que terminan en 2, (que son 2 mod 10) no pueden ser candidatos porque las potencias de 2 terminan ciclícamente en 2, 4, 6  y   4+1 = 5; una terminación en 5 es divisible siempre por 5 y no es primo con la excepción del propio número 5; que es la excepción para b = 2, en los números llamados de Fermat. La divisibilidad por 5, en algún momento, es la que impide que los números b terminados en 2 en 4 o en 8, exceptuando el propio 2, puedan tener  primos para valores consecutivos de n.


2) c = 2 y k = 3

Números b tales que  N = b^(2^n) + 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2564954, 4505138, 6319754, 10004666, 13410068, 28358686, 31079126, 31331314, 37983154, 40470296, 43452004  hasta   5*10^7.


3) c = 2 y k = -3

Números b tales que  N = b^(2^n) - 3 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :


2652442, 3172720, 4564834, 9580670   hasta  10^7.


4) c = 2 y k = 2

Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 22155, 1864149, 2760681, 6222765, 22687797, 25631319, 29309589, 33333069, 36490905,    hasta  5*10^7.


Números b tales que  N = b^(2^n) + 2 es primo para 6 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3,  4 y 5 


2760681     hasta  5*10^7.


5) c = 2 y k = -2

Números b tales que  N = b^(2^n)- 2 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

191829, 5746411, 8636389, 9698023    hasta  10^7.


6) c = 2 y k = 4 o k = -4

Números b tales que  N = b^(2^n) + 4 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

Los b deben de ser 5 mod 10 (terminados en 5) si se quieren más de 3 valores de n consecutivamente primos. No hay ningún b con 5 valores de n consecutivamente primos, si no me he equivocado, hasta  b = 5*10^7. Y la razón de ello es que n^4 + 4 = (n^2 - 2*n + 2)*(n^2+2*n+2) y por tanto no es primo. Por otro lado N = b^(2^n) - 4  es la diferencia de dos cuadrados y por tanto no es primo.


7) c = 2 y k = 10

Números b tales que  N = b^(2^n) + 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

1, 86913, 193123, 1860747     hasta  10^7.


8) c = 2 y k = -10


Números b tales que  N = b^(2^n) - 10 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

27561, 859707, 1033281, 3354681, 6370581, 6442863, 8030397      hasta  10^7.


9) c = 2 y k = 25

Números b tales que  N = b^(2^n) + 25 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

618, 822252, 1030222, 1071618, 1203438, 1385868, 2937922, 3114304, 6322336, 8826808,



10) c = 2 y k = 1000

Números b tales que  N = b^(2^n) + 1000 es primo para 5 valores sucesivos de n; n= 0,  1,  2,  3 y 4 :

172429, 1737307, 1963899, 2063913, 5855967, 6742069, 8911927, 9253569     hasta  10^7.


11) c=2 y k = -1000

Números b tales que  N = b^(2^n) - 1000 es primo para 5 valores sucesivos de  n= 0 a n = 4 


264201, 923247, 2478177, 9310479    hasta  10^7.


12) c = 3 y k = 3

Números b tales que  N = b^(3^n) + 3 es primo para 4 valores sucesivos de  n = 0 a n = 3

10850, 41440, 106106, 209984, 232004, 680584, 1144526, 1908866, 2577310, 3478036, 4096316,
4774384, 5253604, 5310284, 5367200, 5514910, 5677220, 5853044, 6946060, 7058456, 7568566,
8030104, 8036986, 8652824, 9003874, 9607906, 9895460, 9975370     hasta 10^7.



13) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 para b  <=  30 y 1 < = k  <=  100000



[2, 15] [2, 4647] [2, 15885] [2, 23055] [2, 25167] [2, 56907] [2, 58437] [2, 59007] [2, 63585]

[2, 66747] [2, 78567] [2, 82137] [2, 95787] [3, 440] [3, 18248] [3, 20120] [3, 32300] [3, 32360] 

[3, 38180] [3, 40930] [3, 48778] [3, 54440] [3, 57710] [3, 71470] [3, 80920] [3, 82490] [4, 93]  

[4, 2535] [4, 9087] [4, 10207] [4, 15667] [4, 35743] [4, 53097] [4, 61207] [4, 62307] [4, 66747]


[4, 74127] [4, 75013] [4, 82555] [4, 86557] [4, 87735]  [5, 1518] [5, 4134] [6, 1081] [6, 2431] 

[6, 2797] [6, 12583] [6, 14711] [6, 29393] [6, 34433] [6, 81167] [6, 95197] [7, 8712] [7, 19420]

[7, 28722] [8, 52305] [9, 32300] [9, 32362] [9, 80920]  [10, 5383] [10, 26151] [10, 88641] 



[11, 8058] [11, 93912] [12, 7165] [12, 95075] [14, 405] [14, 68247] [15, 11456]  [16, 81] [16, 21091]



[16, 53097] [16, 71971] [16, 86067] [17, 66432] [19, 88848] [20, 1071] [20, 16641] [20, 30783] 

[21, 15206] [21, 30496] [21, 69982] [22, 8607] [22, 51697] [22, 72255] [23, 12228] [23, 95208]

[25, 57688] [26, 56895] [27, 42322] [30, 3089]



 Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 6 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 5 :

15, 440, 93, 1518,  1081, 8712, 52305, 32300, 5383, 8058, 7165, 196168, 405, 11456, 81, 66432, 
102745, 88848, 1071, 15206, 8607, 12228, 270185, 57668, 56895, 42322, 339835, 120510, 3089




Conjeturo que esta sucesión no sólo es infinita sino que además, en ella están representados todos los números naturales sin excepción (Todo número natural b tiene un k).

 Sea l la cantidad/longitud de estos primos producidos por valores consecutivos de n, con comienzo en n = 0. 
Conjeturo además que para l = 7 ocurre lo mismo que para l = 6. No me atrevo a inducir más, pero lo pienso.
Conjeturo también, inspirado en el conocidísimo resultado de Terence Tao que existe un par de números enteros (b,k) para cualquier longitud l.

Nota:  Mis conocimientos matemáticos son demasiado escasos, mi mente demasiado simple, para intentar siquiera demostrarlo; soy sólo un "amateur" matemático  y nada más.




14) Pares de números (b, k) para los que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 para b  < = 50  y 1  <=  k  < = 10^6





[2, 66747] [2, 357567] [2, 475425] [2, 823725] [2, 828807] [3, 18248] [3, 32300] [3, 80920]

[3, 105260] [3, 481858] [3, 718838] [4, 53097] [4, 105513] [4, 305347] [4, 475425] [4, 497953]

[6, 142531] [10, 266251] [10, 572509] [12, 95075] [14, 657645] [15, 325528] [16, 71971] 

[19, 682318] [25, 816078] [36, 466211]




Menores números k para cada base 2 <= b <= 30 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 7 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 6 :



66747, 18248, 53097, 2037018, 142531, 1691820, 1322535, 1659002, 266251, 6185640, 95075, 2518780, 657645, 325528, 71971, 2533260, 21494113, 682318, 3114879, 6523742, 9196027, 3588090, 12492473, 816078, 14837001, 12060370, 2933065, 12212058, 3122953




Menores números k para cada base 2 <= b <= 20 tales que N = b^(2^n) + k es primo para 8 valores consecutivos de n, de n = 0 a n = 7 :



475425, 2024098, 3014907, 2037018, 41758027, 69466840, 16925865, 71997050, 40680037,
140768712, 345831427, 1618212810, 940893195, 177981452, 531252621, 5977558392, 5666288693, 1741211812, 248537697


Mínimos números k tales que 3^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


2, 2, 2, 2, 58, 440, 18248, 2024098, 4263330280, 22836544460


Mínimos números k tales que 4^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


1, 1, 1, 1, 15, 93, 53097, 3014907, 2295032545


Mínimos números k tales que 5^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n



2, 6, 6, 48, 384, 1518, 2037018, 2037018, 44279730804


Mínimos números k tales que 6^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


1, 1, 1, 11, 77, 1081, 142531, 41758027, 1206670783


Mínimos números k tales que 7^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


4, 4, 10, 40, 990, 8712, 1691820, 69466840, 6173190532


Mínimos números k tales que 8^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


3, 3, 3, 165, 1605, 52305, 1322535, 16925865, 43835882055


Mínimos números k tales que 9^(2^l) + k es primo n +1 veces consecutivas para l = 0,1,..,n


2, 2, 2, 58, 440, 18248, 1659002, 71997050, 6776406070

domingo, 24 de marzo de 2013

Generalizando los números de Fermat

k = 14899339905 es el menor número k tal que el número ** N = 2^(2^n) + k es primo para 10 valores consecutivos de n; n= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 **


 k=14899339905;for(n=0,10,a=2^2^n+k;if(isprime(a),print([a,n,ceil(log(a) *0.4343)])))


[14899339907, 0, 11]

[14899339909, 1, 11]

[14899339921, 2, 11]

[14899340161, 3, 11]

[14899405441, 4, 11]

[19194307201, 5, 11]

[18446744088608891521, 6, 20]

[340282366920938463463374607446667551361, 7, 39]

[115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007928028979841, 8, 78]

[13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433663905424001, 9, 155]


 Las últimas cifras a la derecha indican el número de dígitos (o cifras) de cada número primo. De propina, además N = 2^(2^n) + 14899339905 es también muy muy muy muy probablemente primo para n = 14; un número con 4933 dígitos. Todos los números, exceptuando este último, demasiado largo; han sido comprobados primos.

 He aquí el programa escrito en "Pari gp" dotado con una criba módulo 53130; para acelerar la búsqueda y hallar este número k :


 forstep(k=13999967547,10^11,[120, 18, 12, 48, 120, 12, 60, 138, 42, 30, 168, 12, 30, 108, 60, 30, 252, 78, 42, 48, 12, 18, 12, 108, 60, 30, 42, 138, 42, 108, 90, 42, 90, 30, 48, 162, 90, 90, 60, 60, 78, 42, 18, 12, 168, 12, 138, 60, 72, 138, 42, 30, 78, 90, 30, 12, 180, 18, 42, 48, 30, 60, 42, 30, 48, 120, 132, 78, 12, 120, 18, 12, 180, 18, 42, 138, 72, 180, 30, 108, 60, 12, 60, 78, 60, 42, 150, 48, 42, 120, 48, 12, 18, 42,78, 60, 72, 180, 120, 18, 60, 120, 12, 30, 48, 252, 120, 18, 12, 60, 120, 18, 12, 108, 60, 12, 60, 78, 60, 42, 30, 168, 12, 30, 108, 60, 30, 252, 48, 30, 42, 48, 12, 30, 48, 42, 18, 60, 132, 78, 42, 90, 18, 222, 30, 210, 180, 60, 78, 60, 42, 18, 12, 78, 90, 12, 138, 12, 48, 72, 48, 42, 48, 42, 30, 78, 90, 42, 180, 108, 12, 18, 60, 42, 78, 12, 240, 90, 120, 18, 12, 108, 72, 18, 42, 78, 60, 72, 78,42, 60, 30, 108, 60, 12, 60, 48, 30, 60, 42, 150, 48, 42, 48, 72, 48, 12, 120, 18, 60, 132, 120, 120, 18, 180, 12, 30, 108, 312, 18, 12, 78, 42, 60, 18, 12, 108, 60, 12, 60, 78, 12, 48, 42, 30, 48, 120, 12, 30, 108, 60, 330, 12, 18, 42, 60, 78, 42, 18, 192, 138, 72, 18, 120, 102, 30, 78, 132, 120, 60, 60, 78, 60, 42, 30, 48, 30, 90, 12, 138, 12, 48, 120, 42, 48, 42, 90, 18, 312, 108, 12, 18, 120,60, 12, 138, 102, 210, 18, 12, 108, 12, 60, 18, 42, 48, 30, 60, 72, 78, 42, 60,30, 48, 42, 18, 60, 12, 108, 30, 60, 42, 150, 138, 72, 60, 120, 18, 120, 72, 138, 102, 18, 90, 42, 48, 12, 30, 108, 180, 42, 90, 30, 78, 42, 60, 30, 48, 60, 60, 12, 138, 12, 48, 42, 78, 132, 138, 390, 12, 18, 42, 78, 60, 42, 18, 90, 42, 60, 138, 72, 18, 90, 30, 12, 90, 30, 48, 30, 132, 90, 30, 60, 120, 18, 60, 42, 78,30, 102, 138, 12, 168, 42, 180, 18, 120, 210, 42, 48, 12, 18, 120, 12, 48, 12, 108, 30, 102, 78, 132, 30, 108, 12, 60, 108, 30, 60, 150, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30, 252, 138, 72, 78, 42, 60, 18, 120, 12, 60, 138, 102, 78, 30, 42, 48, 12, 30, 48, 60, 180, 12, 30, 90, 90, 18, 42, 60, 78, 60, 72, 138, 12, 168, 270, 90, 252, 48, 12, 18, 42, 48, 30, 12, 48, 42, 78, 30, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30, 12, 90, 78, 30, 222, 30, 60, 120, 18, 120, 60, 30, 240, 12, 120, 48, 42, 120, 60, 18, 90, 30, 12, 198, 42, 48, 12, 78, 42, 18, 12, 48, 12, 108, 30, 102, 78, 12, 120, 138, 12, 60, 108, 30, 210, 42, 138, 42, 18, 132, 48, 30, 252, 48, 42, 48, 72, 48, 30, 42, 60, 78, 60, 12, 60, 120, 18, 102, 78, 30, 42, 60, 78, 60, 180, 12, 30, 108, 72, 18, 42, 78, 60, 60, 132, 78, 12, 120, 48, 120, 42, 168, 30, 252, 48, 12, 108, 12, 18, 12, 48, 42, 78, 30, 42, 60, 78, 42, 18, 72, 108, 30,12, 168, 30, 222, 30, 120, 60, 18, 120, 12, 48, 30, 90, 162, 48, 72, 48, 42, 48, 42, 30, 60, 108, 30, 12, 180, 18, 42, 60, 78, 42, 18, 12, 60, 108, 30, 180, 12, 138, 120, 12, 78, 42, 48, 30, 132, 78, 42, 90, 48, 42, 78, 72, 48, 90, 42, 198, 42, 48, 120, 12, 18, 42, 60, 78, 60, 12, 60, 120, 18, 120, 60, 30, 42, 138, 60, 180, 12, 30, 108, 12, 60, 18, 42, 78, 12, 48, 120, 72, 90, 48, 42, 30, 48, 120, 12, 30, 168, 30, 252, 60, 108, 12, 18, 12, 108, 60, 30, 42, 138, 42, 18, 90, 90, 30, 12, 120, 48, 30, 132, 90, 30, 120, 60, 78, 42, 18, 12, 48, 120, 12, 198, 72, 138, 42, 30, 60, 108, 30, 12, 180, 18, 42, 78, 60, 42, 18, 12, 168, 30, 180,12, 138, 12, 120, 78, 42, 48, 90, 72, 180, 30, 48, 42, 78, 12, 60, 138, 42, 198, 42, 168, 12, 18, 42, 78, 60, 60, 12, 180, 18, 120, 60, 30, 42, 48, 42, 48, 240,12,30,90,18, 12, 60],i=0;for(n=0,9,a=2^2^n+k;if(ispseudoprime(a),i++;if(i>8,print([k,n,i])))))


  *Explicación concisa pero seria de la criba* :

Queremos hallar un número k tal que el número N = 2^(2^n) + k sea primo para valores consecutivos de n, desde n=0.
Para ello k ha de ser impar ; de otra manera N sería divisible por 2.  Vamos a utilizar  la teoría (sencilla) modular de Gauss. El resto entero "a" tras una división de cualquier número entero por el número entero "b" se llama "a módulo b" y se puede escribir " a mod b" . Consideremos que b=10 y en este caso "a" será el último dígito  o última cifra de un número dado. 2^(2^n) = (2^((2^n)/2))^2 tiene como último dígito sucesivamente:
2-->4-->6-->6.... ya que son cuadrados sucesivos uno del otro , que el cuadrado de 4 es 16 y que el cuadrado  de cualquier número que termine en 6, termina en 6. Si k = 1 mod 10 N = 1+4 = 5 mod 10 para n = 1. Los números que terminan en 5  son divisibles por 5, y N no sería entonces primo para n = 1. Si k = 3 mod 10, entonces para n = 0; N = 2+3 = 5 mod 10 no sería primo. Y si k = 9 mod 10;  N = 6 + 9 = 15 = 5 mod 10 sería divisible por 5. Así que k, que debe de ser impar, sólo puede ser  k = 5 mod 10 o k = 7 mod 10. (k terminará siempre en 5 o en 7).

 Tomando b = 3, vemos que (2^((2^n)/2))^2  es sucesivamente 2 mod 3-->1 mod 3-->1 mod 3..... El 1 mod 3 se repite indefinidamente, porque el cuadrado  de 1, para cualquier módulo, es 1. Deducimos que k no puede ser ni  1 mod 3 ni 2 mod 3 porque entonces N sería 1+2 = 3 = 0 mod 3; es decir divisible por 3 y por tanto no primo. Luego k debe de ser k = 0 mod 3, divisible por 3. Esta condición unida a las dos anteriores nos da que k debe de ser k = 15 mod 30 o k = 27 mod 30. Sólo tenemos que mirar 2/30 = 1/15 de los valores posibles de k.

Los cuadrados sucesivos de 2 mod 11 son cíclicamente 2,4,5,3 y 9 mod 11 por lo que debe de ser k = 0,1,3,4,5 o 10 mod 11---> k = 15, 27, 45, 87, 135, 147, 165, 177, 225, 267, 285, 297 mod 330. El programa (en Pari gp) para encontrar algún k con 10 valores primos consecutivos N; desde n=0 y desde  k= 600000000  sería : forstep(k=600000075,10^10,[12,18,42,48,12,18,12,48,42,18,12,48],i=0;for(n=0,9,a=2^2^n+k;if(ispseudoprime(a),i++;if(i>7,print([k,n,i])))))
Ahora sólo tenemos que comprobar 12/330 = 1/27,5 números k; iremos casi 2 veces más rápido que antes  con 1/15.
Hay que tener en cuenta que k debe de ser 15 mod 330. El vector [12,18,42,48,12,18,12,48,42,18,12,48] son los incrementos sucesivos que se le van dando a "k".

Repetimos la operación con 7 y con 23. Y obtenemos que sólo hay que comprobar 780 resíduos de entre 330*7*23 = 53130, es decir 1 / 68,1 de los posibles valores de k. Iremos 68,1/27,5 = 2,5 veces  aproximadamente más rápido que módulo 330.

**k debe de empezar, si se para el programa y se empieza de nuevo, en 27 mod 53130. Para ello se debe de empezar en k = k aproximado que se quiera - k mod 53130 + 27.  **


Cuanto más se profundiza en el módulo, más rápido se irá, pero con más gasto de memoria RAM del ordenador. Un equilibrio entre profundidad de la criba y memoria gastada es necesario. Evaluo que en mi ordenador podría encontrar el menor número k con 11 primos consecutivos; profundizando bastante más la criba; pero buscando un número importante de números k con 10 primos consecutivos y comprobándolos todos posteriormente por si tienen el undécimo; este método sería el más rápido. No creo que llegue jamás a encontrar con sólo  mi ordenador  un k de 12 primos consecutivos, si existiera.

He aquí un programa patoso que escribí para encontrar los números primos más favorables para añadir, si menester fuera, a la criba. Los mejores son los que tienen el porcentaje más bajo; que he añadido a mano, porque no sabía como obtener un valor real resultado de una fracción racional, con Pari gp.


forprime(p=7,1000,a=2;l=floor(0.7*p);v=vector(l);b=a%p;for(n=1,l,v[n]=b;b=b^2%p);for(m=1,l,i=m;for(o=m+1,l,i++;if(v[m]==v[i],break(2))));u=vector(i-1);for(q=1,i-1,u[q]=p-v[q]);t=vector(p);for(r=1,p-1,t[r]=r);for(r1=1,p,j=0;for(r2=1,i-1,j++;if(t[r1]==u[j],t[r1]=0)));t1=vecsort(t);s=vector(p-(i-1));r4=i;for(r3=1,p-(i-1),s[r3]=t1[r4];r4++);if((length(s)/p)<2/3,print([length(s),p,length(s)/p])))

[6, 11] 54.5 %  [12, 19] 63.2 % [13, 23] 56.5 % [30, 59] 50.8 % [54, 107] 50.5 % [108, 163] 66.3% [85, 167] 50.9 % [133, 263] 50.6 % [174, 347] 50.1 % [181, 359] 50.4 % [294, 587] 50.1 % [421, 839] 50.2 % [445, 887] 50.2 % [493, 983] 50.2 %

Utilizando los primos más pequeños con porcentaje cercano a 1/2; podría llegar a una velocidad 2^3 = 8 veces mayor pero a costa de utilizar unos 780*70^3 = 270 millones de resíduos, más de 1 GByte de Ram.




Nota: Sólo soy un "amateur" básicamente autodidacta, con muy escasos conocimientos de programación y de matemática; con apenas los conocimientos básicos. Esto es fruto de esfuerzo, trabajo y sudor, más que de  talento; resultado también de pertinaz aburrimiento. Y a veces no logro ni la cpacidad de concentración suficiente para poder terminar algo. Llevo una semana, hoy al 01/04/2013, intentando unir todos mis programas en uno sólo muy rápido y optimizado y a medida, pero no puedo ni empezar siquiera; no logro concentrarme en ello; no puedo a veces  ni  pensar. Lo tendré que dejar abandonado, como está, sin haber tenido la satisfacción de haber hallado el *menor número k* de 11  primos consecutivos y el de haber intentado al menos encontrar el casi inalcanzable, para un ordenador personal, *menor número k* de 12; se necesitarían 2^12*ln2 = 2800 ordenadores como el mío trabajando juntos en tarea compartida.


Adenda al 03/04/2013 :

Farideh Firoozbakht, una mujer Iraní, encontró y publicó en la OEIS (On Line Encyclopedia of Integer Sequences) hace unos 6 años este mismo número.

http://oeis.org/A129613

Los cinco primeros términos de la sucesión son los valores k = 1 de los 5  únicos números primos, también consecutivos, conocidos hasta ahora de Fermat. He comprobado la exactitud de los 5 valores de k siguientes.

Y Jens Kruse Andersen, un simpático danés que escribe -en inglés- muy bien como su apellido indica, con quien he tenido el honor de cartearme -e una o dos veces; yo siempre aprendiendo de él; recopilador y hallador él mismo de asombrosos records del mundo en torno  a los números primos; encontró hace unos 3 años el menor número k que genera 11 primos de Fermat generalizados (1) consecutivos.       k = 8073774344085.    

http://users.cybercity.dk/~dsl522332/

Me siento halagado y feliz que una mujer Iraní haya encontrado lo que yo también he buscado; antes que yo.

(1) : Números de Fermat Generalizados  son números de la forma N = b^2^n + k siendo b y k  números enteros y pudiendo ser k negativo. Es probable que k = 14899339905 sea el menor número k positivo que produce 10 primos consecutivos para todos los valores de 2 <=  b  <= k; pero habría que comprobarlo escribiendo un programa-criba automatizado, ya que la criba ha de ser diferente para cada nuevo valor de b. No sé si sería factible comprobarlo computacionalmente con las funciones "isprime" o "ispseudoprime" de Pari gp o si sería demasiado lento ya que los números N = b^2^n + k con b cercano a 1,5 * 10^10 tienen del orden de 5200 dígitos para n = 9.

Aquí van unos ejemplos de números N = b^2^n + k con 6 valores primos consecutivos para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, escritos en la forma (b , k) con b distinto de 2 y k distinto de 1 :

(3 , 440)

(5 , 1518)

(6 , 1081)

(14 , 405)

(20 , 1071)

(67 , 240)

(1145 , 7554)

(1938 , -7)

(1989 , 8072)

(2614 , 9505)

(2775 , -824)

(3863 , 8418)


 Por ejemplo los 6 números primos de (20 , 1071), el último número, después del valor de n, indicando el número de dígitos del número primo en cuestión, son :


[1091, 0, 4]
[1471, 1, 4]
[161071, 2, 6]
[25600001071, 3, 11]
[655360000000000001071, 4, 21]
[429496729600000000000000000000000000001071, 5, 42]



En un artículo de interés intitulado :  "La Ley Fuerte de los Números Pequeños",  Richard K. Guy da 35 ejemplos en los que una sucesión de números pequeños, parecen marcar una pauta que después no existe en realidad. El primer ejemplo es el de los cinco primeros números primos consecutivos de Fermat :
N = b^2^n  + k es primo para b = 2; k = 1 y n = 0, 1, 2, 3, 4  :

2^(2^0) +1 = 3; 2^(2^1) +1 = 5; 2^(2^2) + 1 = 17; 2^(2^3) + 1 = 257; 2^(2^4) + 1 = 65537; son todos   números primos; pero sólo para  los valores más pequeños de n. Para el siguiente valor de n (n= 5), N ya no es primo y hubo de esperar hasta Euler -por desinterés, creo yo; más que por la dificultad, aún trabajando (dividiendo) a mano- para saberlo : 2^(2^5) + 1 = 4294967297 = 641 * 6700417.  Bastaban 113 divisiones (1), nada que no se pudiera hacer en unos dos o tres días de trabajo monótono, no más, para llegar a la conclusión que no era un número primo. Como dice el propio Guy : "Ni más ni menos que una persona como Fermat se equivocó". Pierre el francés dijo, o eso parece, que todos los números de la forma 2^2^n + 1 serían primos. Yo creo más bien que  intentaba retar a otros colegas; él como "amateur" no tenía el tiempo suficiente; sin contar la estrechez de los márgenes de los libros, por aquella época...

Por otra parte, dentro de la "Ley de los números pequeños" podemos incorporar una "Ley de los números de tamaño medio" :  N = b^(2^n)  + k es primo para pocos valores y pequeños  de n y pocos valores y pequeños de b. Pero si k es de "tamaño medio"el número de esos pequeños valores de n que producen una pauta prímica; se puede duplicar.

Yo me sacaría además de la manga - pero Guy tiene razón- una "Ley de la insuficiencia de la muestra estadística utilizada"  En una muestra de 4000 números "b" con 10000 números "k"  probados  por cada uno de ellos; con  12 resultados hallados con 6 números primos consecutivos -expuestos más arriba- sólo    2 / 12 = 16,7 % de ellos tenían un k negativo (si el ordenador ni yo mismo hemos fallado); cuando el porcentaje debiera haber sido del 50 %.


(1) : 641  es el 116-ésimo número primo, pero no es necesario dividir por 2, 3 o 5. Pero si de verdad se quiere deducir; determinar si los números N = b^2^n + k son primos para todos los valores de "n"; para b=2 o  para cualquier otro valor de b; basta con tomar varios valores de k, dos o tres no más.

 Para k = 3 y b=2; N = 2^(2^n) + 3 es : 2^(2^0) + 3 = 5 es primo; 2^(2^1) + 3 = 7 es primo; 2^(2^2) + 3= 19 es primo; 2^(2^3) + 3 = 259 = 7*37 no es primo.

  Para k = 5 y b= 2; N = 2^(2^n) + 5 es : 2^(2^0) + 5 = 7 es primo; 2^(2^1) + 5 = 9 = 3*3 no es primo.

  Para k = 2 y b=3; N = 3^(2^n) +2 es :  3^(2^0) + 2 = 5 es primo; 3^(2^1) +2 = 11 es primo; 3^(2^2) +2 = 83 es primo; 3^(2^3) + 2 = 6563 es primo; 3^(2^4) +2 = 43046723 = 19^2*119243 no es primo.

Se ve fácilemente, sin necesidad de hacer 113 divisiones largas, que para valores de k distintos de k =1; no todos los N son primos. ¿ Porqué para k = 1 habrían de serlo ?

Por otra parte, Euler demostró, pero no tengo ni idea de cómo, ahora mismo; que los factores de los números de Fermat  no primos, eran de la forma k*2^n + 1, es decir de la forma k*2^5 +1 = 32*k +1 en el caso de n=5 por lo que, como 641 = 32*20 + 1 Euler sólo tuvo que hacer 20 divisiones como mucho, pudiendo descartar incluso algunas de ellas.


PS: No me interesan tanto los números como la relación que hay entre ellos que se puede extender a la relación que hay entre las cosas y los entes; el propósito es intenter lograr pensar poco pero bien, de la misma manera que El Quijote aconsejaba  a Sancho comer poco y cenar más poco; la calidad y no la cantidad, ni tampoco lo caro, esa es la meta, pues la salud de todo el cuerpo se forja en las oficinas de la mesura; una economía y una higiene del pensamiento del que los números no son sino un símbolo más, como lo son también las letras de las que tampoco  se ha de abusar, que nos inundan con exceso a veces; además de una colaboración amistosa con el ordenador que  aportará los datos que desconocemos, esclarecerá algo la situación, pero sin pontificación ni por su parte ni la del servidor que  tanto habla y no convence.

PS1:  Todo este texto-artículo-matemática-discurrir que antecede no representa lo que soy más que cualquiera de los demás textos escritos en este blog. Todos los textos escritos en esta bitácora han de ser tenidos en cuenta. En defensa de mi inocencia, diré que mi cerebro sigue siendo intervenido, controlado exteriormente a mi persona, por lo que parte de lo que digo e incluso que escribo; parte de mis gestos también; son de otros intrusos no invitados por mí; no son míos y por tanto son falsos; carentes de validez. Lo que digo es que un "no" o un "sí" dichos por mí, pueden en realidad haber sido dichos por otros, sin que yo siquiera me haya dado cuenta, sobre todo hace unos años, en el que me tenían mucho más dormido e inconsciente (fuera de mí mismo) que ahora. Por otra parte reitero que me han hecho olvidar todo del pasado y que no sé tampoco del presente. No sé nada, no trecuerdo nada; y ni siquiera conozco las reglas que rigen este mundo de ahora; ni el de antes; no estoy hablando de las reglas generales del derecho, que cualquiera, inteligente, entiende.