domingo, 10 de enero de 2016

La caída de más (1)


   No me lo esperaba; pensaba yo que el desencuentro entre extremistas que quieren romper España -y luego Europa, ¿Porqué se pararían sólo en la destrucción de España, pudiendo destruir de paso y partir en mil pedazos estériles, a toda Europa?-  iba a continuar en cataluña. Lo dicho en el título, esta caída muy bien programada, desde tiempo ha; sobra.

Hace falta un gobierno de rescate entre el Partido Popular y el partido socialista, en España, frente a este agravamiento de la tentativa de sedición contra nuestro país.





  ¿ Qué pasaría si estos dos satélites de Júpiter se independizaran ?  ¿ Dejarían de girar en torno al más grande ? ¿ Se volverían poco a poco planetas ?  ¿ Y si todos los satélites de los cuerpos celestes fríos, hicieran lo mismo, en nuestro Universo; adonde iríamos; llegaríamos  más lejos y mejor ?          ¿ Una luna independiente, brillaría más ? Pero si todo gira en torno a todo...si no hay cuerpo alguno que pueda aislarse del resto y no dependa de otros.

¿ No hemos sido en España acaso mucho más democráticos que en Francia o en Italia o en el Reino Unido, en cuanto a nuestras -demasiado aprovechadas ya- periferias y sus lenguas y culturas ?

¿ Se partirá también Estados Unidos en varios pedazos; por culpa de independentistas locos de texas o de california; Italia por la secesión del norte; Alemania por el problema bávaro; Gran Bretaña por culpa de los galeses; Francia por la ambición desmedida de bretones, provenzales y alsacianos ?

La respuesta es que no; porque los defenderemos con fuerza y decisión; como hemos defendido con fuerza y decisión a España.

Basta  de secesiones que se vuelven ya claramente criminales, con terrorismo de ETA o sin ella. Que sepan los sediciosos catalanes que no obtendrán impunidad alguna.

(1) : El sábado 9 de enero del 2016, los periódicos españoles; en el tiempo casi real de Internet; anunciaban lacónicamente que el presidente del gobierno autonómico de Cataluña, Artur Mas; dimitía con la única finalidad de permitir iniciar un proceso de secesión contra España.













viernes, 18 de diciembre de 2015

Las sorpresas del 2016 entrante; un ensayo de literatura exacta numérica.

 

  Del Internet gratuito y no obstante de buena y a veces, aunque pocas, muy buena calidad, he deducido lo siguiente, en unas pocas horas, respecto  a las virtudes numéricas del año que está por llegar. Más que filosofía, es una literatura , una literatura exacta sobre el número 2016.






       Una estrella elegante de 24 puntas; un fractal en ciernes pero fallido aquí; generado por   
                                                                         ordenador.



  ** 2016 es el 21ésimo número tringular T, (de la forma n*(n+1) / 2 con n = 63) y tal que T + 1 (2017 en este caso) es primo. Como ocurre para todos los números triángulares, que son siempre la suma de todos los números naturales desde el 1 hasta n; 2016 = 1 + 2+ 3+ 4+ 5+...+ 59+ 60+ 61+ 62 + 63. Es suma de 3 números consecutivos : 2016 = 671 + 672 + 673, y 3 es el menor número de números consecutivos que pueden sumar igual a un número par, si este es divisible por 3. El menor número par divisible por 3 es 6 = 1 + 2 + 3. Todo número impar n es suma de 2 números consecutivos (n-1) / 2 + (n+1) / 2.

  ** Los números perfectos; aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, menos ellos mismos; son de la forma 2^(p - 1)*(2^p - 1) siendo p un número primo y 2^p - 1 un número primo de Mersenne. 2016 es de la forma 2^(n - 1)*(2^n - 1)  con n = 6. Se escribe en binario (base 2) : 11111100000 ( 6 unos consecutivos seguidos de 5 ceros consecutivos; porque es la suma de las siguientes potencias consecutivas de 2 : 2^5 + 2^6 + 2^7+ 2^8 + 2^9 + 2^10 = 32 + 64+ ... + 1024 )
 2016 = 3^6 + 3^6 + 3^5 + 3^5 + 3^3 + 3^3 + 3^2 + 3^2, de manera que se escribe 2202200 en base 3 (133200 en base 4, 13200 en base 6, 5610 en base 7, 3740 en base 8, 2680 en base 9. Siempre terminará en 0 si la base es un divisor del número; 2016 = 31031 en base 5; usa todos los dígitos posibles en base 4 y en base 2)

  ** 2016 sólo es palíndromo 6 veces en su representación de entre las 100 primeras bases, porque se escribe 42 42 en base 47 (42*47 + 42 = 2016), 36 36 en base 55, 32 32 en base 62, 28 28 en base 71, 24 24 en base 83, 21 21 en base 95. (Bases del 2 al 101).

  ** Un número de Lychrel es un número que si se suma al obtenido invirtiendo  la posición de sus dígitos, no se obtiene un palíndromo aunque se repita indefinidamente el proceso. 2016 no es número de Lychrel en base 10, puesto que 2016 + 6102 = 8118 que es un palíndromo. Tampoco lo es en ninguna de las bases menores que 10. El número más cercano que bien pudiera ser de Lychrel en base 10 (¿pero cómo demostrarlo?) es el 1997. Se ha demostrado que 22 = 10110, es número de Lychrel en base 2 y 255 = 3333, lo es en base 4.

  ** 32-ésimo número hexagonal de forma n*(2*n - 1) (con n = 32) y suma de números de la forma 4*k + 1 (k = 0, 1, 2,..., n -1): 1+ 5 + 9 + 13 + ... + 125 = 2016.

  ** Es de la forma n^2*(n^2 - 1) / 2 (con n=8).

  ** Es una diferencia entre dos potencias de 2 : 2016 = 2^11 - 2^5 (y el 24, número que aparece al final, es 24 = 2^5 - 2^3)

  ** 2016^17 + 1 es divisible por el  número primo 2017 y sólo por otro primo más.

  ** 5 se puede escribir como suma de 8 cuadrados en 2016 formas diferentes. (Deben de ser 5 cuadrados de unos positivos o negativos y 3 cuadrados de ceros o bien un cuadrado de 2 y otro de 1, positivos o negativos y el resto de ceros. Esto es :  binomial(8,5)*2^5 + 8*7*2*2 = 56*32 +7*32 = 63*32 = 2016. Los 5 unos pueden ser de 0 , 1 , 2 , 3 , o bien  4 de ellos o bien todos ellos negativos o sea que hay binomial(5,0) + binomial(5,1) + ... + binomial(5,5) = 2^5 = 32 formas distintas posibles de agrupar cinco unos positivos o negativos. binomial(m,n) = m! / ((m-n)!*n!) es el número de combinaciones distintas de m elementos tomados de n en n, siendo n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1. binomial(8,5) = 8! / (5!*3!) = (8*7*6) / (3*2) = 56; hay 56 formas distintas de combinar 8 elementos tomados de 5 en 5, por ejemplo cinco unos todos positivos o bien todos negativos (iguales) y tres ceros. El segundo sumando 8*7*2*2 se debe a que el "2" puede ocupar 8 posiciones distintas, y le quedan 7 al "1",  por cada posición del "2"; o viceversa. Y hay dos formas de 2 : (+2 y -2) y dos formas de 1 : (+1 y -1).Sólo queda decir, para los (y las) que les guste la matemática, si no me he equivocado, que 5 se puede escribir como suma de 9 cuadrados de 4320 formas distintas, pero sólo de 840 formas diferentes como suma de 7 cuadrados, 312 de 6 y 112 de 5 cuadrados. 4 se escribe de 1136 formas como suma de 8 cuadrados; 3 de 448 y 2 de 112. Si no hay equivocación torpe e involuntaria por mi parte, hay más formas de escribir 6 como suma de 8 cuadrados (4480 formas), que 5 como suma de 9 cuadrados (4320 formas). Dejo al amable lector la tarea de encontrar el menor número n entero mayor que 6, si existe, tal que el número de formas de escribirlo como suma de m cuadrados, sea menor que el número de formas de representar n - 1 como suma de m + 1 cuadrados, con m = n + 2 o m = n + 3. No sé, soy un neófito, si se podrían hallar pautas de crecimiento o decrecimiento interesantes en tal terreno inestable.

  ** Es el área de un triangulo rectángulo Pitagórico (cuyos 3 lados son números enteros) de lados (32, 126, 130). La terna Pitagórica primitiva, generadora de infinitas más ternas de forma (k*a, k*b, k*c) (k = 2, 3, 4, ...), es (a, b, c) = (16, 63, 65). Comprobad que a^2 + b^2 = c^2. (24 es el área de un triángulo rectángulo Pitagórico de lados (6, 8, 10) cuya terna primitiva es (3, 4, 5); la única terna Pitagórica con los tres lados de longitudes enteras consecutivas).

  ** 2016 es de la forma n*sigma(n) siendo sigma(n) la suma de los divisores de n (n =  32)

  **  Es un múltiplo de 16 que contiene en su expresión en base decimal, al 16.

  ** Existe un cuadrado mágico de 8*8 formado de números primos consecutivos del 79 al 439 cuya suma mágica es 2016 (Notemos que la suma de estos 64 números primos consecutivos es justamente de 8 veces 2016).

  ** 2016 es de la forma (7^n - 7^0)*(7^n - 7^1)*...*(7^n - 7^(n-1)) (con n = 2  : (48*42)). El próximo será dentro de 33.782.112 años (para n = 3).

  ** 2016^2 es la suma de 4 números primos consecutivos (empezando por el primo 1016051) (y 24^2 es la suma de 4 primos consecutivos treminando en 151. Pero esto no es relevante).

  ** 2016 es el 792-ésimo número que es suma de números primos consecutivos de al menos una forma, siendo el primero : 5 = 2 + 3.  2016 es la suma de 18 números primos consecutivos, del 20-ésimo al 37-ésimo : 2016 = 71 + 73 + 79 +  ... + 149 + 151 + 157. El menor número par suma de números primos consecutivos de dos formas distintas es 36 = 5 + 7 + 11+ 13 = 17 + 19.

  ** 2016 es la diferencia común entre 3 cuadrados en progresión aritmética cuyo primer término es 47^2 (y el número 24 igualmente: 24 = 5^2 - 1^2 = 7^2 - 5^2) (42336, otro número Casiperfecto (ver al final de este texto), es también la distancia común entre los cuadrados de 42, 210 y 294).

  ** 2016 es el 24ésimo número n tal que su número de factores primos, aunque sean repetidos, menos su número de factores primos distintos, es igual a 5 (2016 = 2^5*3^2*7).




            La  preciosa costa vasca; querida; pero no por ello superior a las demás costas de España; ni                                                 separada de ellas; ni enfrentada a ellas.


  ** 2016 es una máxima distancia, superior a todas las anteriores, entre dos tripletes consecutivos de primos de la forma (p, p + 2, p + 6) (El primero empieza por p = 56891 y el siguiente por p = 58907). La otra forma posible de los tripletes de primos (3 primos lo más cercanos posibles entre sí) es (p, p+4, p+6). Se entiende que p + 4 no exista en la primera forma puesto que en el caso en que p fuera de la forma 3*k + 2; p + 4 sería de la forma 3*k + 6 = 3*(k + 2) es decir divisible por 3 y por tanto no número primo. Y para la segunda forma de los tripletes de primos si p fuera de la forma 3*k +1, entonces p+2 sería de la forma 3*k + 3 = 3*(k + 1); divisible por 3. Un ejemplo de primera forma de triplete es (5, 7, 11) o (11, 13, 17) o (17, 19, 23) y de segunda forma :  (7, 11, 13) o (13, 17, 19) o (37, 41, 43).

  ** 2016 es la suma de 7 cubos de números consecutivos (empezando por 3^3) y es el 27ésimo (27 = 3^3 = 1+2+3+4+5+6+6) número que es suma de al menos 2 cubos positivos consecutivos mayores que 1.Y es además la suma de los cubos de cuatro de sus divisores.

  ** La suma de 2016 y de sus dígitos es un cuadrado.

  ** 2016 tiene 5 lunes en el mes de febrero y ello no volverá a ocurrir hasta el 2044.

  ** Es el producto de la suma de divisores de 2 números consecutivos (31 y 32).

  ** Es 4 veces el producto de 3 números consecutivos y 6 veces el producto de estos 3 números reducidos cada uno en 1.

  ** Es la cuarta parte de la diferencia entre el quinto primo de Mersenne M(5) = 2^13 - 1 = 8191 y el cuarto M(4) = 2^7 - 1 = 127 (24 = (M(4) -M(3)) / 4  y (M(3) = 31)).

  ** 2016 es el menor número entero y, con x < y < z tal que sigma(x) = sigma(y) = sigma(z) = x+y+z (x = 1980, z=2556, siendo sigma(n) la suma de divisores del número entero n))

  ** Es el producto de los dígitos de 32^3 (y 32 es un divisor en potencias de 2, de 2016). (24 es el producto de los dígitos de 4^3 (y 4 es un divisor en potencias de 2, de 24); pero no creo que esta similutud sea algo más que una casualidad o una trivialidad).

  ** 2016 es el segundo número Casiperfecto; cuya suma de más de un 85 % (pero menos del 100 %) de sus divisores, excluyendo al propio número, ordenados de menor a mayor, empezando por los menores; sea el propio número. 2016 es la suma de sus primeros 31 divisores y 31 / 35 = 0,89. Los que vivieron en el año 24 tuvieron el honor de inaugurar los números positivos Casiperfectos (24 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 y 6 / 7 =0,857).

  ** En torno al día 18/01/2016, un comentario corto en una página web española de matemáticas,     me informa que el 2016 es un número 24-gonal.Como los dos primeros números Casiperfectos son el 24 y el 2016, decido investigar.

   Primero, la fórmula para el enésimo número r-gonal es P(n,r) = ((r-2)*n^2 - (r-4)*n) / 2.

 Resolviendo la ecuación de segundo grado en variable n, tenemos que (r-4)^2 +8*(r-2)*P(n,r) ha de ser un cuadrado. Escribo el siguiente programa en Pari gp, para hallar todos los números r-gonales entre r = 3 y r = 24 que lo sean para 3 valores distintos de r. Es el caso de 2016 para r = 3 , 6 y 24.
(63-ésimo número triangular; 32-ésimo número hexagonal; 14-ésimo número 24-gonal).

i=0;v=vector(10^3);for(r=3,24,for(m=2,2016,a=(r-4)^2+8*(r-2)*m;if(issquare(a,&b)&floor((r-4+b)/(2*(r-2)))==(r-4+b)/(2*(r-2)),i++;v[i]=m)));u=vecsort(v);w=vector(300);j=0;for(k=2,length(u)-2,if(u[k]>0&u[k]==u[k+1]&u[k]==u[k+2],j++;w[j]=u[k]));y=vecsort(w);l=0;x=vector(j);for(s=1,length(y),if(y[s]>0,l++;x[l]=y[s]));print(x,"  ",j," numeros")

Con el resultado siguiente:
[15, 21, 36, 45, 66, 225, 231, 276, 325, 540, 561, 946, 1225, 1540, 2016]  15 numeros

Los seis primeros números Casiperfectos son :

242016, 8190, 42336, 45864, 392448

8190 es el 39-ésimo número 13-gonal; el 20-ésimo número 45-gonal y el 3-ésimo (tercer) número 2731-gonal. No aparece el 2016.

42236 es el sexto número 2824-gonal y el tercer número 14113-gonal. No aparecen ningunos de los términos anteriores, de la sucesión.

45864 es el tercer número 15289-gonal

392448 es el 12-ésimo número 5948-gonal y el tercer número 130817-gonal.


Deducimos que el hecho de que 2016 sea un número 24-gonal es una simple casualidad que nada tiene que ver con los números Casiperfectos y otro bonito ejemplo de la ley de los números pequeños de Richard K. Guy.



Hay tan pocos números pequeños, en relación a los grandes, que se cuelan donde no debieran de estar, en muchos sitios, y engañan a veces durante un tiempo por suerte corto, al matemático-pensador de buena voluntad.


Por último : 2016 es también el sexto número 136-gonal y el tercer número 673-gonal; si no me he equivocado programando, es decir, como decía un conocido; si no he engañado involuntariamente al ordenador.



2016 = ((2 * 2^2)!) / (2^2^2 + 2^2)
2016 = (3! + 3)! / (3! * (3^3 + 3))
2016 = 5^5 - ((5^5) / 5) + (5 - (5 / 5)) * (5! + (5 / 5))
2016 = ((7^7) / (7*7) - (7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 - 7)) / (7 + (7 / 7))
2016 = (11! * (11 - 11/11 - 11/11 -11/11)) / (11 * (11 * 11 - 11/11) * (11 * 11 - 11/11) )





 ** 2016 es el 16-ésimo número n mayor que 1, tal que eulerphi(sigma(....eulerphi(sigma(n) = n  para cadenas de eulerphis y sigmas alternos de longitud 4*k (k = 1,2,3...), empezando por sigma y terminando por eulerphi. (sigma(2016) = 6552; eulerphi(6552) = 1728 = 12^3; sigma(1728) = 5080;    eulerphi(5080) = 2016).
  


Nota: No creemos en los números más que en las palabras, aunque sí en la relación cambiante y dinámica y fresca y no ideológica (no marxista, ni de izquierda; como ejemplo muy importante; ni de Oeste ni Este) sin estratificaciones ni posicionamientos "geográficos" irremediables que conducen a dictaduras de una minoría  y no dogmática; entre los números por una parte y entre las palabras por otra y si se puede, cuando se puede, entre los números y las palabras juntos, procurando no creer de manera absoluta, nunca,  ni en un número sin contexto adecuado ni en una palabra que pretenda falsamente imponerse generando una idea falsa.

viernes, 2 de octubre de 2015

El método de D´Hondt explicado a los torpes y a Mas (1)



           (1) Pobre Cataluña tan lejos de Dios y tan desorientada por su presidente Mas;



                                                                            Fractal




  Imaginemos que tenemos 5 partidos A, B, C, D y E que han obtenido en unas elecciones respectivamente 15, 14, 13, 12, y 11 votos y que son 7 los escaños a repartir. No hay manera matemática alguna de que el reparto no sea de : (A; B; C; D; E) = (2; 2; 1; 1; 1) escaños. A pesar de que es injusto de que por un solo voto de diferencia, el partido B tenga el doble de diputados o concejales municipales que el partido C y que los partidos A y B, con sólo 29 votos entre los dos, tengan más escaños que C, D y E con 36 votos entre los tres.

   Imaginemos ahora que algún excéntrico -alguien que no vive en el centro; y hay muchos en cualquier país del mundo- convoca un plebiscito engañoso; disfrazado; inelegante, sobre una supuesta separación del Noreste de España; de España.

  Y que obtiene el 39, 54 % de los votos pero 62 escaños de 135 posibles es decir 45, 93 % diputados autonómicos, es decir una prima de más de 6 puntos en diputados  16 % más diputados de lo que debiera). Si hubiera habido una sola circunscripción para toda Cataluña; Mas, en rigor no debiera de haber obtenido más de  135 * 0,3954 = 53 o como mucho 54 escaños.

Hay una manera de que el resultado sea más justo; que vamos a ilustrar con este ejemplo :







                                                     Árbol multicentenario en Picos de Europa




  Sean los votos de los cinco partidos de este ejemplo (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6) y sean 7 los escaños por cubrir. El total de votos es 262. Los porcentajes de votos sobre este total son de (A; B; C; D; E) = (38,2; 32,4; 18,7; 8,4; 2,3) y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 : (A; B; C; D; E) = (2,7; 2,3; 1,3; 0,6; 0,2).

  Método estrictamente proporcional 1 : Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los escaños por repartir que queden se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Método menos estrictamente proporcional 2 :  Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0). Se añade uno a la parte entera obtenida por cada partido y esta se multiplica por la parte decimal. Así, A obtiene (2+1)* 0,7 = 2,1 y D obtiene (0+1)*0,6 = 0,6. Los escaños que quedan por repartir se asignan a los mayores resultados : (A; B; C; D; E) = (2,1; 0,9; 0,6; 0,6; 0,2). En caso de empate, se toman más decimales decisivos. Los dos escaños que quedaban por repartir van a A y a B. Tendremos finalmente (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).





                                                 Acantilados verticales del Ogoño, en Vizcaya




   Método de D´Hondt

  No tiene mayor fundamento matemático que los dos métodos anteriores. El método general consiste en dividir los votos obtenidos por cada partido, por a*k+ 1  para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego. En rigor, hay un número grande de valores de a posibles y luego un número grande de métodos distintos de este estilo.              D´Hondt eligió arbitrariamente el valor de a = 1. Y eso es lo que engañó a Mas, que intentó a su vez engañarnos a los Españoles.

  En torno al 40 % de los votos y si las circunscripciones son todas relativamente pequeñas, la prima en escaños puede ser de hasta 10 puntos, como en el caso del psoe de las elecciones de 1982, que con un 48, 11 % de los votos obtuvo 202  / 350 = 57, 71 % de los diputados.

  Los partidos con más del 20 % de los votos resultan muy beneficiados por el método D´Hondt.

  Los partidos que obtienen entre el 15 % y el 20 % reciben en general, dependiendo también algo de la configuración de las circunscripciones electorales; el mismo porcentaje de escaños.    No se ven perjudicados ni tampoco favorecidos.

  Los partidos con menos del 15 % de los votos se ven a veces muy desfavorecidos, sobre todo en circunscipciones pequeñas. Es el caso de la UCD en las elecciones de 1982, que con un 6, 77 % de los votos obtuvo sólo 11 / 350 = 3, 14 % de los diputados; menos de la mitad de los que había ganado.


  Afortunadamente existe el método de Sainte Lague, que consiste, al dividir por a*k + 1 para los valores sucesivos de k = 0, 1, 2, 3... y eligendo los mayores resultados hasta cubrir el número de escaños en juego; en elegir el valor de a = 2 en vez del valor de a = 1, como en el caso de D´Hondt.





                                                         
                                                               




  Ilustremos el caso anterior de los votos  para (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)

  a) D´Hondt

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 1 ; es decir dividimos por
k +1 , es decir por 1, 2, 3, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100; 85; 49; 22; 6)
División por 2:   (A; B; C; D; E) = (50; 42,5; 24,5; -; -)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,3; 28,3; 16,3; -; -)
División por 4:   (A; B; C; D; E) = (25; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0).



  b) Sainte Lague

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 2 ; es decir dividimos por
2*k +1 , es decir por 1, 3, 5, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (1008549; 22; 6)
División por 3:   (A; B; C; D; E) = (33,328,3; 16,3; -; -)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (20; 17; -; -; -)
División por 7:   (A; B; C; D; E) = (14,3; -; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).





                                                                   Ría de Urdaibai




  c) Método a = 4 (El método a = 3 da el mismo resultado)

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 4 ; es decir dividimos por
4*k +1 , es decir por 1, 5, 9, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 5:   (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 9:   (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Busquemos cual es el valor crítico de a para que el reparto cambie cuando el tercer escaño de A pase a ser de B, es decir cuando 100 / (a*k +1) para k = 2 < 85 / (a*k +1) para k = 1 es decir 100 / (2*a +1) < 85 /  (a +1) es decir a > 15 / 70 y puesto que a debe de ser un número entero, equivale a > 0; es decir que la condición se cumple siempre aunque a tienda a infinito,  salvo por la condición 6 < 100 / (2*a +1) ---> a < 8



  d) Comprobamos que el resultado es el mismo para el método a = 7

  Dividimos por a*k+ 1  para sucesivamente k = 0,1,2,... y a = 7 ; es decir dividimos por
7*k +1 , es decir por 1, 8, 15, ..

División por 1 :  (A; B; C; D; E) = (100854922; 6)
División por 8:   (A; B; C; D; E) = (12,510,6; 6,1; -; -)
División por 15:   (A; B; C; D; E) = (6,7; 5,7; -; -; -)

  Los 7 cocientes mayores están subrayados y marcan el reparto de escaños:
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

  Para  a = 8 obtenemos (A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 1; 1). Hemos comprobado que entre a = 2, para este caso, y a = 7 obtenemos el mismo resultado reparto de escaños.





                                                          Los montes del norte de Burgos




  e) Generalicemos aún más : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores enteros. Por ejemplo a = 3 y b = 2. Hay muchas combinaciones posibles. Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente: 2, 5, 8, 11,...

División por 2 :  (A; B; C; D; E) = (5042,5; 24,5; 11; 3)
División por 5 :  (A; B; C; D; E) = (2017; 9,8; -; -)
División por 8 :  (A; B; C; D; E) = (12,5; 10,6; 6,1; -; -)
División por 11 : (A; B; C; D; E) = (9,1; -; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0); exactamente el mismo resulatado que para a = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y b = 1.


  f) Pero na han de ser forzosamente a y b valores enteros : Dividimos por a*k + b  para sucesivamente k = 0, 1, 2, 3... y a y b valores reales. Por ejemplo a = pi = 3,141... y b = e = 2,718.. Hay muchas combinaciones posibles.
Hemos de dividir, en este caso, por sucesivamente:  e, pi + e, 2*pi + e, 3*pi + e, ...

División por e :             (A; B; C; D; E) = (36,8; 31,3; 18,0; 8,1; 2.2)
División por pi + e :      (A; B; C; D; E) = (17,1; 14,5; 8,4; -; -; )
División por 2*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (11,1; 9,4; 5,4; -; -)
División por 3*pi + e :  (A; B; C; D; E) = (8,2; -; -; -; -)

  Obtenemos  (A; B; C; D; E) = (3; 3, 1; 0; 0). El  reparto es distinto porque estamos en la zona crítica de valores de a y b, para los que existe un cambio en la asignación de los escaños; no porque los valores de a y b no sean enteros. Dejo al amable lector, como ejercicio, el comprobar que con a = pi y b = e / 2 , obtenemos  de nuevo (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).






                                             Flora común primaveral de la provincia de Burgos




 Concluimos que el método a = 2; b = 1 de Sainte Lague es más justo y estrictamente proporcional que el método  a = 1; b =1  de D´Hondt, pero menos que el método estrictamente proporcional 1 con el que Mas y JxS hubieran obtenido sólo 57 escaños por el método estrictamente proporcional y 58 por el método 2.

  De todos modos Mas -y ciertamente no Cataluña con quien se identifican inadmisiblemente- perdió el plebiscito velado que él mismo eligió; como lo perdieron también los Quebequeses en Canadá. Notemos también de paso que los Quebequeses hablan francés y defienden la cultura y la nación francesa, a la que se sienten adheridos cultural y afectivamente. No querrán nunca que ningún excéntrico parta a España y después a Francia y después a Italia en pedazos.


  Notemos además que con el método estrictamente proporcional 1, el partido unio.cat hubiera obtenido 3 escaños, 2 en Barcelona  y 1 en Lérida y que si no fuera por la provincia de Barcelona que es una circunscripción muy grande, con 85 escaños; que corrigen a D´Hondt; Mas -y no Cataluña- hubiera obtenido una prima aún más grande en diputados. Me hubiera gustado, de haber vivido allí, haber votado a un partido centrado y centrista como es unio.cat ; que son de los partidos indispensables a la hora de equilibrar y de impulsar a la vez a las naciones; aunque Mas -y ciertamente no Cataluña- nos esté forzando a radicalizar y extremar nuestras posiciones. Sueño con un PNV que se libre de una vez, muy francamente, de la tiranía loca de Sabino Arana y progresemos y avancemos y centremos y seamos juntos. Una nación no la hace ni la costumbre ni tampoco la lengua, que son, pero no son determinantes; sino el equilibrio, el compromiso y la voluntad. La nación somos nosotros y es España. La mayoría catalana está; lo hemos visto; con España.




                                                           
                         Amboto  y  Alluitz , al fondo, desde el monte Aldamin; del macizo del Gorbeia




  Anexo 1:

  1) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método estrictamente proporcional 1 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 7; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 1

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 8; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 1; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0





                                                           Bajando del bello monte Unchillaitz




  2) Resultados en diputados por cada partido de las elecciones catalanas del 2015 por cada circunscripción por el Método menos estrictamente proporcional 2 :

Barcelona : 

JxSí = 31; C´s = 16; PSC = 12; CatSP = 9; PP = 8; CUP = 7; unio.cat = 2; Pacma = 0

Gerona :

JxSí = 10; C´s = 2; PSC = 2; CatSP = 0; PP = 1; CUP = 2; unio.cat = 0; Pacma = 0

Lérida :

JxSí = 9; C´s = 2; PSC = 1; CatSP = 1; PP = 1; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0

Tarragona :

JxSí = 8; C´s = 4; PSC = 2; CatSP = 1; PP = 2; CUP = 1; unio.cat = 0; Pacma = 0






                                               La costa oriental de Cantabria y su flysch rocoso





Anexo 2 :

Cuando la Cámara de Representantes (House of Representatives) de Estados Unidos, que utilizaba un método muy similar al   Método estrictamente proporcional 1,  explicado anteriormente, para asignar el número de escaños que representaran a cada Estado según su población; quiso aumentar el número de representantes de la Cámara, de 299 a 300; se descubrió que Alabama que tenía 8 representantes, se quedaba entonces con un representante menos, con sólo 7 (2). Esta paradoja se debe a que en un reparto matemático, los resultados de cualquier parte, dependen siempre de las demás  partes y es, a mi entender, menos grave que el hecho de que un partido, a nivel nacional, que haya obtenido alrededor del 10 % de los votos o menos, con un sistema de reparto que dice ser proporcional, como el de  D´Hondt; obtenga en cambio en torno a sólo el 5 % de los escaños en juego o menos.  Otra cosa es que exista una voluntad de consenso como en el caso francés en que las circunscripciones electorales son lo más pequeñas posibles, eligen a un solo escaño y por tanto un partido o una colición que haya obtenido el 49, 9 % de los votos, en esa circunscripción, si sólo hay dos coaliciones en juego, no obtendrá, muy injustamente, ningún representante. Sin embargo ese sistema electoral favorece, relativamente, el consenso  entre partidos que tienden a agruparse en coaliciones y a pactar. Pero lo malo de ese sistema electoral con circunscripciones unipersonales es que marca una dicotomía *falsa* entre partidos de ¿izquierda? y de ¿derecha?; ideologiza falsamente en dos bloques más arbitrarios que reales, la gestión nacional.

(2) : La fuente es de Wikipedia en Inglés.

Ilustración de la paradoja :

Sean los votos de  los 5 partidos (A; B; C; D; E) = (100; 85; 52; 19; 6).  El total de votos es 262. Los escaños a cubrir son 7. Los porcentajes de votos sobre este total son de                                                     (A; B; C; D; E) = (38,17; 32,44; 19,85; 7,25; 2,29)  y el número de escaños para cada partido de  entre los 7 :
 (A; B; C; D; E) = (2,672; 2,271; 1,389; 0,508; 0,160).

Asignamos a cada partido la parte entera de los escaños que han obtenido --->
(A; B; C; D; E) = (2; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 1; 0).

Pero si los escaños a cubrir son 8, el número de escaños para cada partido de  entre los 8, es :              (A; B; C; D; E) = (3,053; 2,595; 1,588; 0,580; 0,183).

La parte entera es --->
(A; B; C; D; E) = (3; 2, 1; 0; 0) y los 2 escaños por repartir que quedan se asignan a las mayores partes decimales ---> (A; B; C; D; E) = (3; 3, 2; 0; 0).

El partido D pierde su escaño en favor de C o de B, a pesar de que el número de escaños en juego ha aumentado en uno. La paradoja no es tanta si se piensa que C tenía casi el triple de votos que D y B más de 4 veces los votos de D y que un reparto totalmente exacto en todo momento es obviamente imposible; cuanto más inexacto el reparto cuanto menor sea el número de escaños en juego.




jueves, 20 de agosto de 2015

Reseña modular breve sobre la ecuación diofántica : a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4

 
    Mi intención no es dirigirme a expertos sino a aficionados como yo mismo. Los números en sí no significan nada, pero es a veces difícil ver las relaciones matemáticas que rigen entre ellos y esto es lo atractivo de la teoría de los números, y  por ello escribo esto, para divulgar a un nivel de mera afición, para aficionados; muy lejos de la especialidad y de los especialistas.

 Utilizaré la notación siguiente :  r = s mod t para expresar que s es el resto de la división entera de r entre t. Por ejemplo  17 = 2 mod 5 significa que el resto de la división entera de 17 entre 5 es 2; puesto que 17 = 3*5 + 2.

Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 5 o 1 mod 5 o 4 mod 5 porque 3^2 mod 5 = 9 mod 5 = 4 mod 5 y 4^2 mod 5 = 16 mod 5 = 1 mod 5.  Y las potencias cuartas sólo pueden ser 0 mod 5 o 1 mod 5 por lo anterior. (En efecto, y como ejemplo, (5*k + 4)^2 = 25*k^2 + 40*k + 16 = 5*k1 + 16 = 5*k2 + 1; tomando en este caso preciso k1 = 5*k^2 + 8*k y k2 = k1 + 3).


Los cuadrados son siempre (todos) 0 mod 8 o 1 mod 8 o 4 mod 8 porque 3^2 mod 8  = 9 mod 8 = 1 mod 8 ; 4^2 mod 8 = 0 mod 8, 5^2 mod 8 = 1 mod 8, 6^2 mod 8 = 4 mod 8, 7^2 mod 8 = 1 mod 8, 8^2 mod 8 = 0 mod 8. Y las potencias cuartas son siempre 0 mod 8 o 1 mod 8  

Así que en la ecuación    a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4 
sólo podemos tener en módulo 5 estas dos formas:

 0 + 0 + 0 + 0 = 0    o bien     0 + 0 + 0 + 1 = 1

puesto que 0 + 0 + 1 + 1 = 2    y  2 mod 5 no puede ser una potencia cuarta o bien 1 + 1 + 1 + 1 = 4
y 4 mod 5 no es nunca una potencia cuarta, como tampoco lo puede ser 3 mod 5.

Y exactamente lo mismo ocurre en módulo 8.

La opción   0 + 0 + 0 + 0 = 0 queda descartada en ambos módulos 5 y 8 porque sólo obtendríamos soluciones (a, b, c, d) = e obvias con a, b, c, d, e todos ellos múltiplos de 5 o bien de 8, a partir de soluciones primitivas obtenidas con  la condición obligatoria  0 + 0 + 0 + 1 = 1 en ambos módulos.

Un número que es 1 mod 8 es un número de la forma 8*k + 1 y es siempre impar, de la forma 2*k1 + 1 con k1 = 4*k. El hecho de que impar * impar = impar nos garantiza que si x^4 es impar también lo son x^2 y x. Luego uno de los 4 números, a, b, c, d ha de ser impar y los  otros tres han de ser pares.También el número e es  siempre impar.
Tres de los números a^4 , b^4 , c^4 o d^4 han de ser 0 mod 5 es decir múltiplos de 5 y como son potencias cuartas son múltiplos de 5^4 = 625.
A diferencia de lo que ocurre en mod 8 en que si un apotencia cuarta  x^4 es 0 mod 8, x^2 puede ser
0 mod 8 o bien 4 mod 8 y x puede ser 0 mod 8 o bien  2 mod 8 o  bien 4 mod 8 o bien 6 mod 8; en mod 5 si x^4 es 0 mod 5, entonces x^2 es 0 mod 5 y x es 0 mod 5. Queda mostrado que tres de los números a, b, c, d son múltiplos de 5.


Estas conclusiones modulares permiten ahorrar mucho triempo, cuando se implementan en el algoritmo que se programará en el ordenador que calculará las soluciones (a, b, c, d) = e, dentro de un rango determinado. No parece que exista ninguna identidad matemática que produzca un número infinito de soluciones; aunque quizás no todas las soluciones de esta ecuación. (Frecuentemente ocurre que aunque se produzcan un número infinito de soluciones, por medio de alguna identidad, en una ecuación Diofántica, estas no son todas las soluciones de la ecuación). No sé tampoco si la ecuación ha sido resuelta completamente o no. Creo que no.


Estas son las 3 primeras soluciones, tomadas de la excelente página web de Eric Weisstein :



(30, 120, 272, 315) = 353
(240, 340, 430, 599) = 651
(435, 710, 1384, 2420) = 2487

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html







sábado, 6 de junio de 2015

¿ Cuantos son los números enteros consecutivos que multiplicados entre sí, más otro número entero cuadrado, darán un cuadrado ?

 

   Es relativamente sencillo de comprobar que el producto de cuatro números enteros consecutivos

más otro número entero t^2 es un cuadrado si t = 1 porque

 n*(n+1)*(n+2)*(n+3) + t^2 = n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n * t^2    

 y            (n^2+b*n+t)^2 =  n^4 + 2*b*n^3 + (b^2 + 2*t)*n^2 + 2*t*b*n + t^2

lo que nos da que b = 3 y t = 1.

   
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)  + 1 =     (n^2+3*n+1)^2 = (n + (n+1 )^2)^2


Esta identidad es cierta cualquiera que sea el número entero positivo por el que se empieza. :


n = 0 ---> 0*1*2*3 + 1 =   1   = (0+1^2)^2   =  1^2

n = 1 ---> 1*2*3*4 + 1 = 25   = (1+2^2)^2   =  5^2

n = 2 ---> 2*3*4*5 + 1 = 121 = (2 + 3^2)^2 = 11^2

n = 3 ---> 3*4*5*6 + 1 = 361 = (3 + 4^2)^2 = 19^2

n = 4 ---> 4*5*6*7 + 1 = 841 = (4 + 5^2)^2 = 29^2

.......

La sucesión de los términos está documentada en la excelente estadounidense On-line Encyclopedia 

of Integer Sequences : 

https://oeis.org/A028387


Al ser un polinomio cuadrado, su grado ha de ser par por lo que el número de números consecutivos 

multiplicados entre sí ha de ser también par.                                                                            (1)


Los coeficientes de los polinomios que son producto de m números consecutivos, fueron estudiados por el escocés Stirling, por lo que llevan el nombre de números de Stirling de primera especie que denotaremos aquí por (n, k), en negrita .

n*(n+1)...(n+m-1) = Suma(de k = 0 a k = m) (m, k)*n^k

Tienen las siguientes propiedades fácilmente comprobables :

(n, 1) = (n-1)*(n-2)*...*2*1
(n, n-1) = n*(n-1) / 2
(n, n-2) = n*(n-1)*(n-2)*(3*n-1) / 24
(n, n-3) = n^2*(n-1)^2*(n-2)*(n-3) / 48
(n, n) = (0, 0) = 1
(n, 0) = (0, n) = 0
(n+1, k) = n*(n, k) + (n, k-1)



http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind

No conocía yo tampoco estos números de Stirling, mi cultura matemática y general es limitada, pero se hace camino al andar. Al intentar resolver este problema, me he topado con ellos. Lamento que tanto la OEIS de Sloane como el *buen y *breve** artículo matemático de wikipedia, indispensable sobre estos números, sólo estén en inglés.




Cualquiera que sea el grado y por lo tanto la longitud del polinomio cuyo cuadrado quisiéramos igualar al producto de m números consecutivos enteros más un número entero t^2, denotaremos los  coeficientes de sus monomios de mayor a menor grado por sucesivamente : 1, b, c, d, e, f, ...

Por ejemplo : 

(n^6+b*n^5+c*n^4+d*n^3+e*n^2+f*n+t)^2 =

n^12 + 2*b*n^11 + (b^2 + 2*c)*n^10 + (2*c*b + 2*d)*n^9 + (2*d*b + (c^2 + 2*
e))*n^8 + (2*e*b + (2*d*c + 2*f))*n^7 + (2*f*b + (2*e*c + (d^2 + 2*t)))*n^6 + (2
*t*b + (2*f*c + 2*e*d))*n^5 + (2*t*c + (2*f*d + e^2))*n^4 + (2*t*d + 2*f*e)*n^3
+ (2*t*e + f^2)*n^2 + 2*t*f*n + t^2


Los coeficientes de los cinco monomios de mayor grado, de mayor a menor, de cualquier polinomio 

cuadrado de grado superior a 6 son: 

1,  2*b,   b^2 + 2*c,   2*(b*c + d),  2*(b*d+e) + c^2                                         (2)



  Consideremos los productos de m = 4*k + 2 números consecutivos (k =1,2,3,..). Por las propiedades de los números de Stirling anotadas previamente, el coeficiente del monomio de grado m - 1 del polinomio, es       (m, m-1) =  m*(m-1) / 2 = (4*k + 2) * (4*k + 1)  / 2 =  (2*k  + 1) * (4*k  + 1 ). El producto de dos impares es un impar y debe ser igual a 2*b, un número par, por (2) .




 Contradicción por lo que no puede ser que  la suma de un producto de 4*k +2 números enteros consecutivos más un cuadrado entero  sea un  cuadrado. Un mínimo de reflexión llevará al amable y más que paciente lector a deducir de ello, que para poder ser cuadrado ese producto  debe de ser el de 8*k  o 8*k + 4 números consecutivos (k = 1, 2, 3, ...).     (7)   





Los coeficientes del monomio  n^(m-2) del polinomio de grado m cuando m = 8*k + 4

son (8*k + 4, 8*k + 2) = (8*k + 4)*(8*k + 3)*(8k + 2)*(24*k +11) / 24 = (2*k + 1)*(8*k + 3)*(4*k

+1) *(24*k + 11) / 3 = (2*k + 1)*(4*k´ + 3)*(4*k + 1) *(4*k" + 3) / 3  tomando k´ = 2*k                            
y  k´´ =  6*k +2.

Un número entero r es de la forma r = u*l + v si cuando se divide al número r por u, con cociente entero, su resto es v.  En cada grupo de tres números consecutivos,  uno es divisible por 3, por lo que el resultado de la división del producto de tres o más números consecutivos, por 3, es un número entero . Lo importante cuando se habla de que un número r es de la forma u*l + v no es el valor de l, que no importa, sino el valor de u y el valor de v. Quien sepa utilizar los módulos, puede utilizarlos.

El producto de dos números de la forma 4*l + 3 es de la forma 4*l + 1, al igual que el producto de

dos números de la forma 4*l  + 1 por lo que (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma (2*k +1) * (4*l +3)

 Si k es par, k = 2*l´ ;  2*k +1 = 4*l´ + 1.  Si k es impar k = 2*l´ + 1;  2*k +1 =  4*l´ + 3.




Si k es par (8*k + 4, 8*k + 2) es de la forma 4*l +3 y de la forma 4*l +1 si k es impar                (3)




Un análisis similar al precedente nos desvela que los coeficientes (m, m-3) son impares si m tiene


resto 6 o 7, al dividirlo por 8 (formas 8*l + 6 u 8*l + 7 o bien 8*l´- 2 y 8*l´- 1; (tomando l´= l - 1)) y

pares en los demás seis casos de los  restos 0, 1, 2, 3, 4, 5.                                                          (8)



Por la regla general de recurrencia de los números de Stirling de primera especie

(8*k + 4, 8*k) = (8*k + 3)*(8*k + 3, 8*k) + (8*k + 3, 8*k - 1)


(8*k + 3, 8*k) es par por (8); el producto de cualquier número por un número par es par y la

suma de cualquier número con un número par lleva la paridad del primer número. Por lo que

(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de (8*k + 3, 8*k - 1). 


Esta transferencia de paridad en descenso contínua, sólo rota en el caso de (8*k, 8*k - 4) que lleva la

paridad inversa de (8*k -1 , 8*k - 5) por lo que (8*k + 4, 8*k) lleva la paridad inversa de (8*k - 4, 

8*k - 8) que es el caso cuando k es sustituido por k -1 y la paridad de k cambia.

En concreto, para k = 1, impar; (12, 8) = 357423 es impar. Concluimos que :



(8*k + 4, 8*k) lleva la paridad de k                                                                                       (4)   



 Por  (2) y (4) sabemos que  2*(b*d+e) + c^2  =  (8*k + 4, 8*k) tiene la paridad de k. Deducimos 

correctamente  de ello que c tiene la paridad de k.                                                                            (5)



Por (2), (8*k + 4, 8*k + 3) = 2*b = (8*k +4)*(8*k +3) / 2  ---> b = (2*k +1)*(8*k +3) es impar --->

b^2 tiene resto 1 al dividirlo por 4, como  todos los cuadrados de números impares.


 Por (2) y (3) tenemos que (8*k + 4, 8*k + 2) b^2 + 2*c  es de la forma 4*l +3 si k es par y de la

forma 4*l +1 si k es impar. Luego c es impar si k es par y par si k es impar, contradiciendo a (5).


 No existen productos de m números consecutivos enteros más  otro número entero cuadrado, que 

sean cudrados  si m es de la forma 8*k + 4                                                                               (6)




(1), (7) y (6) concluyen que para que la suma de un  producto de m números enteros consecutivos más  otro número entero cuadrado sea un cuadrado, cualquiera que sea el número de inicio, m debe de ser de la forma m = 8*k (k=1,2,3,4....) siendo el producto de 4 números consecutivos  más el número uno la única excepción a la norma y probablemente el único caso que exista, mis reducidos conocimientos matemáticos no me permiten demostrarlo.







domingo, 3 de mayo de 2015

El Camino Lebaniego



 En el  oeste de Cantabria de norte a sur, desde San Vicente de la Barquera, en la costa, hasta Potes en el magnífico macizo de los Picos de Europa y el monasterio de Santo Toribio, existe el camino lebaniego -no sé aún porqué no se dice liebanés-, que desemboca en la comarca de Liébana. Es perpendicular al camino de Santiago y relativamente exigente en cuanto al esfuerzo físico requerido, pero realizable  en solo dos etapas aunque se tenga una edad, como la mía, de algo más de tres veces veinte años. Y de una gran belleza para quien ame a la montaña, a la majestuosa naturaleza.






                                              Dejando atrás a San Vicente de la Barquera



No estoy muy acostumbrado a seguir flechas -rojas en este caso- o amarillas en el camino de Santiago, por carreteras amplias y asfaltadas, más bien por estrechos senderos de montaña o por pistas pedregosas, en mal estado, sin asfalto, de manera que en el pueblo de La Acebosa me equivoco sin llegar a ver la señalización de desvío por una carretera poco visible y estrecha a la derecha y sigo recto hasta llegar de nuevo a las proximidades de la autovía. No llevo ni mapa ni artilugio de seguimiento satelital (GPS). Tampoco he preparado la ruta en casa, con ayuda del ordenador, de los documentos sobre el camino lebaniego existentes en Internet, y de los mapas de Google. No me ha dado tiempo; y me gusta improvisar. No conozco los nombres de los pueblos por los que hay que pasar, ni el nombre, ni la situación ni la altura de los montes, algunos majestuosos, que se verán en esta ruta. Un panel de información turística, con un croquis de los pueblos y carreteras de la zona y el nombre del burgo siguiente con la descripción de su arquitectura más notable, me confirma de que voy por dirección equivocada. Retorno hasta encontrarme con las señas de la bifurcación que no vi; estoy enfadado, he recorrido unos 2 km de más para nada, nada más empezar el camino. Estoy pensando en que no debo despistarme -literalmente o no- tanto; que qué falta de concentración mental atesoro yo involuntariamente.

Me vuelvo a equivocar en Gandarilla por no ver la flecha roja, algo alejada, en un desvío. Unas mujeres mayores, buenas andarinas, muy amables, me orientan adecuadamente. Me anuncian que no llegaré a Lafuente hasta la noche si mis piernas son buenas. Otos 2 km perdidos. He salido hacia las 13 h 30  de San Vicente y llegaré más allá, hasta Cicera, sin yo planificarlo, a las 21 h 15, a punto de noche negra de este miércoles 29 de abril del 2015. Me dicen que hay que probar el queso picón en el bar de Cades. Han sido, según lo publicitado en los folletos turísticos 36 km, contando los 4 km andados de más, recorridos en 7,75 horas, kilómetros relativamente arduos pero preciosos, de subidas, de bajadas y de más subidas y bajadas, recorridos a una buena velocidad media de algo más de  4,5 km por hora; y disfrutando de lo visto y lo vivido.







     Primer obstáculo montañoso, que hay que pasar, subiendo, en el camino. Hay otra ruta más plana  pero más larga por los bordes del río Nansa.




                                         

  Un ejemplo de la arquitectura Cántabra. El hotel y el bar estaban cerrados.Quizás hay que llamar por teléfono para que vengan a abrir al visitante.





  El Nansa, en el que nadie se baña dos veces, porque ambos, bañante y río ya no serán los mismos; y su sosiego.





                                                Nunca sobra la información, para el viajero. 





                                                       
                                                         Notabilidad de los árboles.






Agua y monte.






   El caprichoso trazado -parece casi aleatorio- de los murillos de separación de las propiedades            rústicas privadas. Alguna de estas vacas mugía insistentemente por alguna razón que yo no sé ni entiendo.






                    La montaña empieza a enseñarnos sus dientes que hay que saber volver amables.






                           El verde y las redondeces que envuelven siempre y enredan a los ríos.





                         
                           Las casas imperecederas, casi inmutables. El pueblo de Sobrelapeña.





   Los nombres de las localidades suelen ser "políticamente correctos" pero Bajolapeña hubiera sido un topónimo descriptivo  más exacto.









 Iglesia muy antigua de Lafuente - Lamasón





Una imagen habitual de las zonas de montaña; los tejados de los pueblos. Aquí los de Lafuente.




Al llegar a Cades, me desvío a la derecha hacia el bar, publicitado en un panel.Un andarín autóctono, que andaba detrás de mí, me dice que está cerrado. Retorno al camino. No encontraré ningún bar ni  tienda abierta en estas dos etapas, en estos dos días hasta Potes. En el albergue privado de Cabañes, que está a la vera misma del camino, el segundo día, no quisieron darme de desayunar excusándose en unos niños allí presentes. Sospecho, no obstante,  que se trata de una maniobra de mi ex compañera Verónica, que ufana me apostó, en el pasado semi olvidado, hace ya años, que puedo recordar ahora, que un día yo desayunaría en Tama, al lado ya de Potes, hacia  las doce del mediodía, después de 6,5 horas de marcha y recorrido. Hay gente que conoce el futuro; y yo no lo sabía. Y  configuran ese futuro, obligando a que, en parte, sea como termina siendo.  No pensaba entonces que ese conocimiento  fuera posible; pero lo he comprobado en este viaje -y en otros viajes- por este camino impávido y lebaniego.

Cuando por fin llego a Lafuente, el pastor cuya vaca se había adelantado en la carretera y en la foto me dice que hostia, que el albergue está cerrado. Veinte y siete kilómetros largos de media montaña para nada. Pienso que las cosas no son nada serias, que no se debe de anunciar la existencia de un albergue, existencia sin restricciones confirmada esta misma mañana en la oficina de turismo del Paseo de Pereda, en la bella Santander. Intento comprobarlo por mí mismo, pero dos mujeres apostadas en mitad de la carretera desierta confirman la palabra del pastor de vacas. Pero que el albergue de Cicera, que me dicen que está abajo, en un valle, si debe de estar operativo.

Con desaliento me doy cuenta que se me ha acabado el agua, que la pendiente es hacia arriba y fuerte. La siguiente localidad es Bustio, otro barrio de Lamasón. Un hombre con un mono azul aparece de repente; me dice que el agua del abrevadero que está al lado, que está corriendo, es buena, que es de arriba del monte. Le digo que, aún de arriba, puede haber pasado por las moñigas de las vacas y él que no, que viene por tubería. Meto la botella en el abrevadero, donde las vacas y los caballos beben y  lleno hasta la cuarta parte; el agua es fresca y sabe bien. El del mono azul, que dice que es pastor de vacas y es bastante majo, exclama que llene la botella más y yo me niego, que llame al albergue de Cicera para avisar que llego. Me acompaña un rato, me cuenta que en la mili tenía un compañero de Baracaldo, de La Reineta donde se llega  en funicular y me dice su nombre, que por la ladera escarpada de ese monte de al lado bajaron unos, de noche y en carrera, hace poco, dotados de cascos con linterna, que había  incluso extranjeros, que para haberse matado unos cuantos.  Y yo le contesto que no, que la noche es un tigre de papel (1) si se tiene la experiencia y si se adquiere el aguante en los montes. Le doy las gracias, al separarnos, por su amabilidad y compañía.

(1):  No se lo dije así; el habla es en tiempo real; los recursos literarios sólo se pueden elaborar al filo de la postergación del escribir.

No veo el desvío hacia la izquierda, directo  hacia Cicera, que el de mono azul me había anunciado. Cuando diviso desde la altura de la carretera, que ha sustituido a los caminos de tierra, los tejados de un pueblito, ya anocheciendo, emprendo un campo a través directo, arriesgándome a que no fuera Cicera, sino otro burgo y en cinco minutos de descenso por praderío natural algo embarrado, llego al bar que está, por buena suerte abierto aunque no hay nadie. Me gusta lo que me dice el barman que dice ser a la vez el propietario, que el alcalde es del psoe, pero que por esta zona votan más bien a la eficacia. Si alguien no lo hace bien, votan a la siguiente a otro. El albergue es solo para mi persona. Estoy en una sala con 8 literas, pero hay más salas, servicio y dos duchas con agua caliente, que acaban de encender la caldera. El albergue es municipal y el empleado del ayuntamiento dice que ha venido desde Santander, aunque vive a  solo 3 km.  Hay frigorífico, vasos, platos, cubiertos, vitrocerámica y microondas para calentar, todo en buen estado en una casona que fue antigua escuela. Ceno, ya casi a las once de la noche, el pan con embutidos, la crema de garbanzos -hummus- también fría y el chocolate con cacahuetes Conguitos que compré en Santander, regado todo ello con el agua clara y sabrosa de la zona. Lo como todo. Me arrepiento de no haber traído algún sobrecito de té y/o de café y algún tubito de leche condensada para la mañana; falta también, en mi parecer subjetivo y de manera diáfana, una mujer; algún amor concreto.


  No sé si será la  edad, pero a las 4 h 30 ya estoy despierto. Es inútil el intento de alargar el sueño y a a las 5 h  emprendo el proceso de partir de nuevo; la noche es aún cerrada y no conozco el camino. Pero sé que llegaré o como mucho habré de esperar hora y media a la luz del sol. Un caballo me pega un susto, en el oscuro monte, al emprender ruidosa y repentina huída de mi pobre y casi ciego paso; seguro que él algo de mí sí vio. Un ruido extraño de agua cayendo, casi chillando, que no identifico en prima instancia me detiene un rato. ¿ Qué será... ? Robín, me digo, no eres ya un niño. Y continúo.
 La pista es de tierra con piedras  y a veces de cemento. Llego a una bifurcación, pero consigo encontrar la flecha, apenas verla, de pintura roja orientadora. A la hora prevista, las 6 h 30, porque sé que los días duran en esta época del año, 14 horas, se empieza a ver bien.


 He llegado a lo más alto del monte; una semi planicie; preveo  que la dirección de la ruta cambiará bruscamente en algún punto poco evidente, que debo de estar atento, que  mi falta de concentración por momentos no controlables por mí mismo, me puede impedir ver ese cambio. Se me ha olvidado de qué manera se podía encontrar a la estrella del Norte, a partir del carro tan visible hasta hace unos minutos, ahora tapado por algunas nubes y la claridad naciente. Solo recuerdo que su altura sobre el horizonte ha de ser igual a la latitud del lugar, unos 43 grados; pero no puedo recordar ni hallar, ahora, ningún método para demostrarlo  geométricamente. Y la estrella que pensé ser del Norte parecía tener esa altura angular; pero de luminosidad algo débil para un cielo tan poco contaminado. Tomo el punto medio de la franja de la claridad debida al sol naciente, como el probable punto del Este.

  En un momento me parece evidente que no voy bien. Llevo varios minutos por una pista, en llano inútil en montaña, en dirección casi este, cuando la dirección media hacia Potes es suroeste. No tengo mapa, ni GPS, ni quiero mirar en Google con el móvil, que me cuesta manejar su pequeña pantalla táctil y más aún ver bien su letra pequeña. Llego a un punto publicitado por un panel informativo como "La Braña de los Tejos" y a un pequeño refugio construido de piedra, acogedor, con la puerta abierta. La pista que se torna ahora medio sendero, gira hacia el norte. Lo compruebo con un programilla brújula sencillo, en el teléfono móvil. Regreso y encuentro el panel indicativo que no vi marcando un giro de 90 grados hacia el sur y hacia una gran bajada con vistas fabulosas.





                                                       Punto de inicio de la bajada.





                                          No sé aún ni el nombre ni la altura de estas cimas









                                    Esto debe de ser, según la web de Mendikat, mirado a posteriori, 
                                   el bloque rocoso del Parijorcau; Jontaniella; Cuetu Agero; pero me puedo                                        equivocar. Un solo nombre, en todo caso, el Parijorcau, el más alto, de 1381                                      metros, para  todo el bloque.

   



Emprendo la bajada hasta Lebeña, un desnivel de 800 metros, a veces corriendo, aunque nunca he pasado por allí, corriendo cuando estoy seguro de que voy por buen camino. El motivo de correr es el de aprovechar a mi favor la fuerza de la gravedad, de buscar además un equilibrio harmonioso de mi cuerpo en movimiento, no frente al monte, sino junto al monte, en amistad y unión con él. No me canso más que si bajo despacio y andando. Sólo se requiere la búsqueda del equilibrio en el esfuerzo.    Gano, corriendo en las bajadas bastante  tiempo, lo que me permitirá detenerme  más; con calma o con lo que yo quiera, en otros sitios. Los bastones, que tan de moda tonta están entre los senderistas; son en realidad innecesarios, bajando o subiendo.








                                                                       Lebeña











                                                
                                                    La iglesia muy antigua de Lebeña.






                                                               
                                               El río Deva  a su paso tranquilo por Lebeña




Cuando paso por Lebeña veo a un señor que casualmente está subiendo en ese preciso momento a su coche. Le pregunto por algún bar donde desayunar y él me dice que hasta Tama nada. No sé ni donde queda Tama, pero no le pregunto nada más y contínuo no sin darle las gracias.





























































   


  Hay que saber mirar la belleza de las  flores y de las plantas naturalmente silvestres, que no solemos detenernos a contemplar. Y ello también es senderismo. 




Todas las fotografías  han sido realizadas con una sencilla y pequeña cámara compacta fotográfica  barata, la más barata que encontré en el mercado, de solo unos 75 €, con zoom suficiente de solo 6x, objetivo común, no de marca y eso sí, todas han sido editadas digitalmente, buscando una mejora, con el programa de edición sencillo gratuito que  el propio fabricante provee. Como en la fotografía antigua, química y anlógica; la parte del laboratorio, que es ahora  la edición digital por ordenador, es casi tan importante como la toma de la foto misma. Y requiere de algo menos de tiempo.






                   
                                                          La belleza natural del lugar






                                               
                                              Lebeña visto desde la subida hacia Cabañes



En Cabañes, a un pastor de ovejas, parece que se le escapa el rebaño justo por la carretera estrecha por donde yo tengo que ir. Me aparto rápidamente para no interferir, dejar que vayan a donde tienen que ir. Les hace cambiar de dirección con  un grito seco de su voz, desde unos buenos metros de distancia y después lanza su bastón al suelo y se detienen compactamente agrupadas y tranquilas.¡Qué obediencia! Me dice que querían ir donde ellas saben que hay mejores pastos.







                                                          Orientándose en Cabañes






Creo recordar que estas vacas estaban todas recostadas en la hierba cuando yo pasé. Quizás estas son otras distintas.



  

                                        Cabañes y sus montes desde las cercanías de Pendes.



















Árboles milenarios en la zona. 




                                                              
                                                             Los tejados de Pendes.





                                                                               
                                                                                Color 



 Por fin me acerco a Potes por una carretera asfaltada, aunque sin tráfico, que me cansa psicológicamente más que físicamente, aunque me duelen algo la espalda y los gemelos. No hay bares antes, así que desayuno en Tama, en el primero que encuentro, hacia el mediodía, después de 7 horas de  haberme levantado de la litera del albergue de Cicera, como me lo anunció Verónica hace ya muchos años. Un desayuno bueno de café con leche, grande, y tres tostaditas bien sabrosas.

 Nada es peor que la burocracia contra los emprendedores; me acuerdo de que el día siguiente es la fiesta del primero de mayo; una fiesta inventada en Estados Unidos y al pasar por un supermercado Día, decido comprar para comer, cenar y también para mañana en  que todo estará cerrado. La compra pesa mucho para ir llevándola hasta el monasterio de Santo Toribio y el calor aprieta, así que decido parar en un banco y comer ya.  Fruta, zumo de fruta y algo de embutido con pan. Pienso en ir después al albergue de Potes y tumbarme un rato en una litera a descansar, dormir la siesta un poco. Por la tarde subiré al monasterio y después veré  lo que visito y hago. Volveré al día siguiente  en autobús hasta San Vicente y de allí seguiré a pie hasta  Unquera o más allá. Cuando llego al albergue son las dos de la tarde y leo en un papel que  cierran de dos a cuatro. La burocracia otra vez, qué mala suerte.

 Salgo con la mochila en la espalada y la bolsa pesada de comida y de bebidas en la otra, hacia Santo Toribio.En plena subida al monte veo una cruz grande blanca en la misma cima; muy muy arriba, casi más alto que todo lo que he subido hoy. El calor aprieta mucho, no hay nadie andando. Pienso que no voy yo a hacer el ganso ni matarme en el esfuerzo por un asunto de religión. En Potes, que es un pueblo bonito, me cansa a veces su aspecto turístico descarado, más que me gustan los montes que lo rodean. El último autobús para Santander es a las cuatro y cuarto. Decido regresar sin haber siquiera sellado mi credencial  de peregrino en Potes. De regreso en Bilbao veo en el ordenador, en Google, que el monasterio estaba a solo 1 km y unos metros de donde yo me volví. Y solo 200 metros más alto que Potes. Nada comparado con los 900 metros de desnivel hasta la cima del monte que yo creí que había que alcanzar.