Este pequeño trabajo es de un amateur con escasos conocimientos de astronomía. Pretende no obstante mostrar que cálculos que no demanden mucha precisión están al alcance de todos aquellos que posean un mínimo de conocimientos matemáticos.
Se trata de determinar el tiempo medio que la Luna tarda en recorrer el cono de sombra (umbra) de la tierra y el que tarda en recorrer el cono invertido de penumbra.
Los puntos S, T y L representan respectivamente a los centros del Sol, de la Tierra y de la Luna. El punto P es el vértice del cono de penumbra. El punto Q es la intersección de la perpendicular a la línea SPTL, en L con el límite del cono de penumbra.
b es el ángulo TPQ.
a es el semi ángulo del cono de sombra total en su vértice.
c es el semi ángulo que recorre la luna en la penumbra , desde el centro de la Tierra.
e es el semi ángulo que recorre la Luna en la sombra total, desde el centro de la Tierra.
Rs , Rt y Rl son los radios del Sol; Tierra y Luna.
Rs = 6,96*10^5 km.
Rt = 6,37*10^3 km.
Rl = 1,74*10^3 km.
ds y dl son las distancia Tierra Sol y Tierra Luna.
ds = 1,5*10^8 km.
dl = 3,8*10^5 km.
L es la distancia entre el centro de la Tierra y el vértice del cono de sombra total (umbra).
Como tg b = Rt / PT = Rs / PS y PT = ds - PS deducimos fácilmente que PS = Rs*ds / (Rt+Rs) = 148.639.600 km y PT = 1.360.400 km. No es necesario calcular estas distancias.
b = arc tg ((Rt +Rs) / ds) = 0,268 º.
Como tg a = Rs / (ds + L) = Rt / L obtenemos L = Rt*ds / (Rs - Rt) = 1.386.000 km
a = arc tg (Rt / L) = 0,263 º.
LQ = Rt + dl*tg b = 6370 + 1779 = 8149 km.
arc tg (LQ / dl) = 1,23 º es un ángulo pequeño por lo que será igual con buena precisión al ángulo c.
El tiempo de paso por umbra más penumbra del centro de la Luna será de un máximo aproximado de 27, 3 días* 24 horas* 2* 1,23 º / 360 º = 4,5 horas cuando el centro de la Luna pasa cerca del eje del cono de umbra.
Si se cuenta como principio del eclipse el momento del toque del disco de la Luna con la penumbra y como final del eclipse el momento en que la Luna ha salido por completo de la penumbra opuesta, entonces el ángulo c es con buena aproximación arc tg ((LQ + Rl) /dl) = 1,49 º y el tiempo máximo -cuando el centro de la Luna pasa muy cerca del eje del cono de sombra- de la duración del eclipse así medido será de 27, 3 * 24 * 2 * 1,49 / 360 = 5, 4 horas.
El eclipse total de Luna del 27 / 07 / 2018 visible en España unas dos horas y pico después de su comienzo cuando la Luna salga por el horizonte Este, durará 6, 2 horas un 15 % más de lo que estos cálculos indican, probablemente porque no he usado la distancia mínima posible Tierra Luna ni el periodo orbital adecuados; soy un néofito en astronomía. El centro de la Luna pasará esa vez a sólo unos 700 km del eje del cono de sombra. Los datos están en Internet. El máximo del eclipse será a las 22 h 22 y su final a la 1 h 29 de la madrugada.
La semi distancia D recorrida por la Luna dentro del cono de sombra total es cercana a D = (L -dl)* tg a = 1.005.500 tg 0,263º = 4600 km.
Remarquemos la coincidencia "millonaria" de que el centro de la Luna está casi exactamente a un millón de kilómetros del vértice del cono de sombra total.
e = arc tg (D / dl) = 0,69 º. La penumbra tiene una extensión angular ( amplitud perpendicular al eje del cono) del orden de 1,8 veces la sombra total.
El tiempo de paso por la sombra total es de 27,3*24*2*0,69 / 360 = 2,5 horas cuando el centro de la Luna pasa cerca del eje del cono de umbra. Puede pasar por encima o por debajo y el tiempo será menor.
La relación R umbra / R luna = 4600 / 1740 = 2,64 es cercana a la que divulga la NASA en sus croquis a escala de los tiempos de paso de la Luna por la umbra y la penumbra en las diversas eclipses de Luna habidas recientemente.
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