sábado, 28 de enero de 2017

Algunos sistemas de numeración no tan habituales.






                Sistema de numeración binario, sin el cero, utilizando los dígitos 1 y 2,
 tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212,

1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2212, 2221, 2222, 11111, ...


               Sistema de numeración de base 3, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2 y 3,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.


1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213,

221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333, 1111, ...


             
                Sistema de numeración de base 4, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4,  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados. 

           
1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44, 111, 112, 113, 114, 121, 122,

123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, ...


Cualquier base se puede escribir sin el cero, pero utilizando un dígito suplementario. La base es el número de dígitos distintos. 



                 Sistema de numeración de base 10, sin el cero, utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,   8, 9, x (x = 10), tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = d(a-1)....d2d1d0; tiene el valor n = Suma((i=0,i=a-1); di*b^i), siendo b el número de dígitos distintos utilizados.



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1x, 21, ... , 29, 2x, 31, ... , 39, 3x, 41, ... ,

99, 9x, x1, ... , x9, xx, 111, ... , 119, 11x, 121, ... , 129, 12x, 131, ... , 199, 19x, 1x1, ... , 1xx, 211, ... ,

21x, 221, ... , 29x, 2x1, ... , 2xx, 311, ... , 99x, 9x1, ... , 9xx, x11, ... , x1x, x21, ... , x99, x9x, xx1, ... ,

xxx, 1111, ... , 111x, 1121, ... , 119x, 11x1, ... 999x, ...


       



 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 2), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 221, 222, 1222, 11222, 111222, 1111222,

2111, 2112, 12112, 2121, 2122, 12122, 112122, 2211, 2212, 12212, 112212, 2222, 11111, ...





  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 2 (utiliza dos dígitos distintos: 1, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 13, 113, 1113, 11113, 111113, 1111113, 31, 131, 33, 133, 1133, 11133, 111133, 1111133, 

11111133, 111111133, 1111111133, 11111111133. 111111111133, 1111111111133, 11111111111133, 

111111111111133, 1111111111111133, 11111111111111133, 111111111111111133, 311, 1311, 313, 

1313, ...

En este caso, cuando el número de unos consecutivos, a la izquierda de otro número o conjunto de números distintos, sea muy largo, se puede sustituir por su expresión más corta, en esta misma base, seguido de un guión. Como ejemplo 111111111133 = 22 (en base 10 usual) -->  31-33.


  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 3), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 13, 21, 22, 23, 123, 1123, 31, 32, 33, 133, 222, 223, 1223, 11223, 231, 232, 233, 1233, 2121, 

2122, 2123, 12123, 2211, 2131, 2132, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 1323, 2233, 331, 332, 333, 1333,

11333, 21131, 111333, 21211, 21131, 2311, 2312, 2313, 2321, 2322, 2323, 12323, 22112, 22113, 

22121, 2333, 22123, 122123, 22211, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 21321, 21322, 

21323, 22233, 211111, ...


 Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración ternario, que utiliza los números 0, 1 , 2  tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da....d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).


1, 2, 12, 20, 21, 22, 122, 200, 201, 211, 212, 220, 221, 222, 1222, 2000, 2001, 2002, 2012, 2020,

2021, 2022, 2122, 2200, 2201, 2202, 2212, 2220, 2221, 2222, 12222, 20000, 20001, 20002, 20012,

20020, 20021, 20022, 20122, 20200, ...



  Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 111, 4, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 214, 222, 1222, 224, 41, 42, 142, 44, 144,

2114, 2122, 12122, 241, 242, 2212, 244, 2221, 2222, 12222, 2224, 12224, 112224, 1112224,

21111, 21112, 121112, 21121, 21122, 2241, 2242, 12242, 2244, 12244, 21221, 21222, 121222,

21224, 121224, 22111, 22112, 122112, 22114, 22122, 122122, 22124, 22212, 122212, 22214, 22222,

122222, 22224, 122224, 411, 412, 1412, 414, 1414, 11414, 111414, 22244, 122244, 1122244,

211214, 211222, ...



 Obviamente, no pretendo que estos sistemas de numeración tengan utilidad alguna, son meras curiosidades aritmético-matemáticas. A lo sumo válidas y útiles para encriptación parcial deficiente; pero nunca se sabe qué nueva herramienta matemática un día los podría utilizar.





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 9, 19, 119, 1119, 29, 129, 1129, 11129, 111129, 219,

1219, 2112, 229, 1229, 2122, 12122, 112122, 2211, 2119, 12119, 2221, 2129, 12129,

112129, 1112129, 2219, 12219, 21111, 2229, 12229, 21121, 21122, 121122, 1121122,

21211, 21119, ...



Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 3 (utiliza tres dígitos distintos : 1, 2, b (b = 11)), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, b, 1b, 11b, 222, 2b, 12b, 112b, 1112b, 2111, 21b, 121b,

2121, 22b, 122b, 1122b, 2211, 2212, 12212, 211b, 2222, 12222, 212b,...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : 1, 2, 3, 5), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 1111, 5, 15, 23, 123, 25, 31, 32, 33, 133, 35, 135, 1135, 225, 231, 232, 233, 1233, 235, 2122,

2123, 12123, 51, 52, 53, 153, 55, 155, 321, 315, 251, 252, 253, 331, 332, 333, 1333, 335, 1335, 

11335, 21131, 21132, 21133,  21222, 21223, 121223, 1121223, 21231, 21232, 351, 352, 353, 1353,

355, 1355, 22131, 22132, 22133, 21311, 21312, 21313, 121313, 21315, 21251, 21252, 21253, ...




Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 4 (utiliza cuatro dígitos distintos : -2, 1, 3, 4), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 11, 3, 4, 14, 114, (-2)3, (-2)4, 1(-2)4, 31, 131, 33, 34, 4(-2), 14(-2), 114(-2), 41, 141, 1141, (-2)

(-2)33, (-2)(-2)34, (-2)(-2)4(-2), 1(-2)(-2)4(-2), (-2)(-2)334, (-2)(-2)41, 31(-2), (-2)(-2)43, (-2)(-2)44, 

311, 1311, 313, 314, 1314, 3(-2)3, 3(-2)4, 13(-2)4, 331, 1331, 333, 334, 34(-2), (-2)31(-2), 

1(-2)31(-2), 341, (-2)311, 343, 344, 1344, 11344, (-2)33(-2), 1(-2)33(-2), (-2)(-2)413, (-2)331, 

1(-2)331, (-2)333, (-2)334,  





 Representación mínima (en su acepción decimal usual) de un Sistema de numeración de base 8 (utiliza ocho dígitos distintos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9), que no utiliza el cero, tal que un número de a dígitos, que se escribe n = da...d3d2d1, tiene el valor  n = Suma((i=1,i=a);di^i)


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 9, 26, 27, 33, 29, 35, 36, 37, 41, 39, 43, 44, 45, 46, 47, 237, 49, 51, 52, 53, 54, 

55, 56, 57, 249, 59, 252, 253, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 341, 69, 343, 344, 345, 346, 71, 72, 73, 74, 

75, 76, 77, 355, 79, 273, 274, 275, 276, 277, 362, 279, 364, 365, 366, 367, 423, 369, 425, 426, 427, 

1427, 371, 372, 373, 375, 91, ...



Puede haber uno o varios pequeños errores de inatención en alguna de estas sucesiones. En particular, algunos de los términos pueden no ser mínimos, cuando ello es requerido. En el caso del sistema de numeración de base 4 que utiliza los dígitos -2, 1, 3, 4 se necesita convenir si un término con el mismo número de dígitos es menor cuando empieza por -2 o bien por 1.


3 comentarios:

Myriam dijo...

¡Ay! para mi esto es chino básico.
Como pudiste notar en mi blog, soy humanista de pura
y única cepa, ya que me interesa todo, incluída la
Ecología. Pero matemática como no sea la básica
para la administración de mis haberes y prometeres, .....:-(
jajajajaja.

Bienvenido a mi casa siempre que lo desees
y gracias por tus comentarios. Las entradas sobre
la Campaña de Napoleón por estas tierras,
fue motivada por una Exposición que vi en Jerusalén,
que me llevó a leer sobre el tema y a compartirlo en mi blog.

Un abrazo, Robin, y ¡feliz verano!

PD- He enlazado tu blog para seguirte.
Espero que sigas publicando, desde luego.


Robín dijo...

Hola Myriam: me alegra que te hallan gustado mis comentarios sobre Historia en tu blog que encontré por azar en ese lago con mucha visibilidad aparente pero dudoso fondo en general, que es Internet. Te has expresado mal. Estás versada en las humanidades puras; no eres una humanista pura; porque el humanismo es una actitud de flexibilidad; que ahora también se llama empatía; que no depende desde luego de que prefieras o no las disciplinas científicas a las disciplinas llamadas de humanidades; o vice versa. La matemática es un Tigre de Papel. Lo que tiene de malo, lo tiene de árdua; no tolera el "más o menos" que rige en literatura, por ejemplo; pero que no debiera regir en disciplinas como la Historia, la Geografía, la Psicología. Me gusta la matemática porque es totalmente neutra; de una neutralidad espléndida que no admite ni las trampas ni las componendas ni los arreglillos; pero sí lo simple; que contrariamente a la literatura (y a los cuentos; que no hay que desechar de todas formas d eninguna manera), escapa, sabe escapar de la tiranía del sentido. Y porque es, para mí; la mejor forma de expresión del pensamiento humano, superior incluso a la filosofía; que sabe y puede librarse de la entropía de las palabras; uno siente a veces ante la matemática lo que se siente ante la música o simplemente ante la belleza.

Amapola Azzul dijo...

Tendrías que conocer a Chema.
Besos.

Es que no sé poner enlaces...
Buena semana!!!
💋